специальные системы многочленов {рп (х)}; n = 0, 1, 2,..., ортогональных с весом ρ(х) на отрезке [а, b ] (см. Ортогональная система функций). Нормированная система О. м. обозначается через 
х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона)
х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (Пирсона) 
Многочлен рп (х) такой системы удовлетворяет дифференциальному уравнению
где γn =n [(α1 + (n + 1)β2].
Наиболее важные системы О. м. (классические) относятся к этому типу; они получаются (с точностью до постоянного множителя) при указанных ниже а, b и ρ(х).
1) Якоби многочлены {Рп (λ,μ)(х)} — при а = —1, b = 1 ρ(х) = (1—х)λ (1 + x)μ, λ > —1, μ > —1. Специальные частные случаи многочленов Якоби соответствуют следующим значениям λ и μ: λ = μ— Ультрасферические многочлены 
1/2, т. е. 
Чебышева многочлены 1-го рода Tn (x); λ = μ = 1/2, т. е. 
Чебышева многочлены 2-го рода Un (x); λ = μ = 0, т. е. ρ(х) ≡ 1 — Лежандра многочлены Рп (х).
1/2, т. е. Чебышева многочлены 1-го рода Tn (x); λ = μ = 1/2, т. е. Чебышева многочлены 2-го рода Un (x); λ = μ = 0, т. е. ρ(х) ≡ 1 — Лежандра многочлены Рп (х). 2) Лагерра многочлены Ln (x) — при а = 0, b = + ∞ и ρ(х) = е—х (их наз. также многочленами Чебышева — Лагерра) и обобщённые многочлены Лагерра 
3) Эрмита многочлены Нn (х) — при а = —∞, b = + ∞ и 
О. м. обладают многими общими свойствами. Нули многочленов рn (х) являются действительными и простыми и расположены внутри [а, b ]. Между двумя последовательными нулями многочлена рn (х) лежит один нуль многочлена pn+1 (х). Многочлен рn (х) может быть представлен в виде т. н. формулы Родрига
где An — постоянное, а β(х) см. формулу (*). Каждая система О. м. обладает свойствами замкнутости. Три последовательных О. м. 
где ап+2 и λn+2 следующим образом выражаются через коэффициенты этих многочленов: если
то
Общая теория О. м. построена П. Л. Чебышевым. Основным аппаратом изучения О. м. явилось для него разложение интеграла 
х — an и числителями λn—1. Знаменатели φn (х)/рn (х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему О. м. на отрезке [a, b ] относительно веса ρ(х).
х — an и числителями λn—1. Знаменатели φn (х)/рn (х) подходящих дробей этой непрерывной дроби образуют систему О. м. на отрезке [a, b ] относительно веса ρ(х). Приведённые выше классические системы О. м. выражаются через гипергеометрическую функцию (См. Гипергеометрические функции).
Лит.: Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; см. также лит. при ст. Ортогональная система функций.
В. И. Битюцков.
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.