Akademik

функций - класс Z_M непрерывных 2p-периодических функций f(x), для к-рых существует такая постоянная M>0, что при всех хи h>0 имеет место неравенство

Класс Z_M введен А. Зигмундом [1]. В терминах класса Z_m получает окончательное решение задача Джексона'- Бернштейна о прямых и обратных теоремах теории приближения функций. Напр., имеет место следующее утверждение: для того чтобы непрерывная 2p-периодическая функция f(x)входила в 3. к. при некотором M>0, необходимо и достаточно, чтобы ее наилучшее приближение E_n(f)тригонометрич. полиномами порядка не выше пудовлетворяло неравенству

где А>0 - постоянная. Для модуля непрерывности w(d, f) любой функции имеет место оценка

причем постоянная на всем 3. к. Z_m не может быть улучшена [3].

Лит.:[1] Zygmund 'a., "Duke Math. J.", 1945, v. 12, №1, p. 47-76; [2] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969; [3] Ефимов А. В., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1957, т. 21, № 2, с. 283-8.

А. В. Ефимов.