Akademik

численные методы решения для уравнений с частными производными - приближенные методы решения, в результате к-рых решение задачи представляется таблицей чисел. Точно решения (в виде явных формул, рядов и т. п.) К. з. можно построить лишь в редких случаях. Из приближенных методов решения наибольшее распространение получили разностные методы (см. [1]); они применимы к самым общим задачам и удобны для реализации на ЭВМ. Сущность разностных методов состоит в том, что исходная область изменения независимых переменных заменяется дискретным множеством точек - сеткой, а производные, входящие в уравнение и в граничные условия, аппроксимируются на этой сетке разностными отношениями. В результате такой процедуры исходной задаче сопоставляется система конечного числа алгебраич. уравнений (линейных или нелинейных), называемая разностной схемой. За приближенное решение исходной задачи принимается решение разностной схемы. Точность приближения зависит от способа аппроксимации и от густоты сетки, т. е. от того, насколько плотно сетка заполняет исходную область. В дальнейшем рассматриваются только линейные К. з. для уравнений с частными производными, причем исходная задача считается корректно поставленной. Обоснование разностных методов связано с исследованием корректности разностной задачи и ее сходимости при измельчении сетки. Разностная задача наз. к о р р е к т н о й, если при любых правых частях ее решение существует, единственно и устойчиво. Под устойчивостью разностной схемы понимается непрерывная зависимость ее решения от правой части, равномерная относительно шагов сетки.

Пусть, напр., требуется решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате с границей Г:

Область Gзаменяется квадратной сеткой с шагом h, т. е. множеством точек

а производные, входящие в уравнение, - разностными отношениями

где - ее решение.

Решение задачи (1) существует и единственно при любых правых частях f и при любых, граничных условиях (см. [2]). Более того, решение разностной задачи (1) сходится при к решению исходной задачи, причем схема имеет второй порядок точности в норме с, то есть

где М - постоянная, не зависящая от h.

Разностная схема (1) представляет собой систему линейных алгебраич. уравнений, для к-рой характерно большое число уравнений (именно уравнений, причем ), большое число нулей в матрице этой системы и плохая обусловленность (отношение наименьшего собственного числа к наибольшему есть величина порядка ). Для решения подобных систем уравнений, возникающих при аппроксимации дифференциальных уравнений разностными, существуют аффективные прямые и итерационные методы. Прямые методы дают точное решение разностной задачи после выполнения конечного числа арифметич. действий. К прямым методам относятся различные варианты метода прогонки, включая матричную прогонку, метод декомпозиции, быстрое преобразование Фурье, метод суммарных представлений (см. [1], |2], [3], [6]). Эффективность прямых методов оценивается порядком числа действий при Так, матричная прогонка требует для решения задачи (1) числа действий в то время как метод быстрого преобразования Фурье требует для решения той же задачи действий. Из итерационных методов решения разностных задач используется метод Ричардсона с чебышевским набором параметров, попеременно-треугольный итерационный метод, различные методы переменных направлений (см. [2]). Эффективность итерационных методов оценивается порядком минимального числа итераций необходимых для того, чтобы уменьшить погрешность начального приближения в раз. Напр., при решении задачи (1) методом Ричардсона величина имеет порядок а при решении методом переменных направлений с оптимальным выбором итерационных параметров Итерационные методы более универсальны и более просты в реализации, чем прямые, и вследствие этого получили большое распространение при решении разностных задач.

Пусть, напр., требуется решить первую К. з. для уравнения теплопроводности:

Для решения этой задачи задается сетка по времени с шагом t>0, и сетка G_h по пространственным переменным. Пусть Производная аппроксимируется отношением

а лапласиан - разностным оператором Исходному уравнению (2) ставится в соответствие разностная схема

Параметр а, входящий в эти уравнения, определяет устойчивость и точность схемы. Если то схема (3) устойчива при любых шагах сетки (абсолютно устойчивая разностная схема). Если же то схема (3) устойчива при нек-ром ограничении на величину (условно устойчивая разностная схема); напр., явная схема (s=0) устойчива при условии При с_хема имеет второй порядок точности по т и по h, при остальных s - первый порядок точности по и второй - по h. Разностная задача (3) решается "по слоям". Слоем номера пназ. множество всех точек сетки при нек-ром фиксированном h. На нулевом слое (при n=0) значения известны из начальных условий. Если значения на нек-ром слое пуже известны, то значения на следующем слое находятся из системы уравнений

Для нахождения решения задачи (4) мощно воспользоваться любым из методов решения стационарной задачи (1). Существуют, однако, более экономичные алгоритмы решения многомерных нестационарных К. з., а именно методы переменных направлений (см. [1] - [5]), позволяющие сводить решение многомерной задачи к решению последовательности одномерных задач. Так, для решения уравнения теплопроводности можно воспользоваться следующей схемой переменных направлений:

Эта схема абсолютно устойчива, имеет второй порядок точности и решается путем последовательного обращения одномерных разностных операторов.

Решение разностной задачи, даже если оно получено точно, может не только количественно, но и качественно отличаться от решения исходной дифференциальной задачи. Особенно сильно это отличие сказывается при счете уравнений, имеющих особенности в коэффициентах или в самом решении (так, при расчете разрывных решений уравнений газовой динамики обычно появляются зоны сильного "размазывания" разрывов). Таким образом, непосредственная аппроксимация дифференциальной задачи разностной, когда производные заменяются с большой степенью произвола разностными отношениями, не всегда приводит к хорошей разностной схеме. Выработан ряд принципов построения разностных схем, позволяющих получить схемы хорошего качества. Так, успешно применяется метод баланса и методы аппроксимации вариационного функционала (см. [1]-[3]). Полученные этими методами разностные схемы правильно отражают интегральные законы сохранения, справедливые для исходных уравнений, и обеспечивают знакоопределенность соответствующих разностных операторов. В теории разностных однородных схем (см. [7]) рассматриваются вопросы построения и исследования сходимости разностных схем для уравнений с переменными (в том числе и разрывными) коэффициентами .

Лит.:[1] ТИХОНОВА. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1977; [2] Самарский А. А.. Теория разностных схем, М., 1977; [3] Марчук Г. И., Методы вычислительной математики, М., 1977; [4] Я н е н к о Н. Н., Методы дробных шагов решения многомерных задач математической физики, Новосиб., 1967; [5] Дьяконов Е. Г., Разностные методы решения краевые задач, в. 1-2, М., 1971-72; [6] П о л о ж и и Г. Н., Численное решение двумерных и трехмерных краевых задач математической физики и функции дискретного аргумента, Киев, 1962; [7] Тихонов А. Н., Самарский А. А., "Ж. вычислит. матем. и матем. физ.", 1961, т. 1, в. 1, с. 5-63. А. В. Гулин.