Akademik

- необходимые и достаточные условия, при к-рых регулярная (или мероморфная) функция однолистна в нек-рой области комплексной плоскости . Необходимым и достаточным условием однолистности в достаточно малой окрестности точки аявляется . Такая (локальная) однолистность во всех точках области еще не гарантирует однолистности в области. Напр., функция неоднолистна в круге , где , хотя для нее выполняется условие локальной однолистности в каждой точке плоскости. Необходимым условием однолистности является всякое свойство однолистной функции, в частности всякое неравенство, к-рому удовлетворяет однолистная функция. Справедливы следующие необходимые и достаточные О. у.

Теорема 1. Пусть функция f(z) в окрестности z=0 разлагается в ряд

и пусть

с постоянными коэффициентами и . Для того чтобы f(z) была регулярной и однолистной в

функцией, необходимо и достаточно, чтобы при всяком натуральном Nи для всяких х _р , р=1, . . ., N, выполнялось неравенство Грунского

Аналогичные условия имеют место для класса е (В)(класс функций мероморфных и однолистных в области ) (см. 12] с. 599-602, а также Площадей принцип).

Теорема 2. Пусть граница lконечной области Dесть жорданова кривая. Для того чтобы регулярная в Dи непрерывная в замкнутой области функция f(z) была однолистной в , необходимо и достаточно, чтобы f(z)взаимно однозначно отображала lна нек-рую замкнутую жорданову кривую.

Необходимые и достаточные условия однолистного отображения на области выпуклые, звездообразные или спиралеобразные относительно начала для функции (1) в круге Есвязаны с теоремой 2 и записываются соответственно в виде

Многие достаточные О. у. описываются с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений (теорема 3) и уравнений с частными производными (теорема 4).

Теорема 3. Мероморфная в круге Ефункция f(z) будет однолистной в Е, если шварциан

подчиняется неравенству

причем мажоранта является непрерывной неотрицательной функцией и удовлетворяет условиям: а) не возрастает по r при , б) дифференциальное уравнение при имеет решение

Частными случаями теоремы 3 являются условия однолистности Нехари - Покорного:

где

Теорема 4. Пусть f(z, t)есть функция, регулярная в круге Е, непрерывно дифференцируемая по t, и удовлетворяющая уравнению Лёвнера - Куфарева

где - функция, регулярная в Е, непрерывная по и Если где - конечная величина при для каждого и - непостоянная регулярная функция в Ес разложением (1), то все функции однолистны, в том числе однолистными являются функции и .

Теорема 4 приводит к следующим конкретным О. у.:

и

где - действительные постоянные,, - регулярная функция, отображающая; круг Е на выпуклую область. Однолистность функции

равносильна однозначной разрешимости уравнения (2) относительно г. В таком понимании достаточные О. у. распространяются на широкий класс операторных уравнений. Для этих уравнений, в частности, обобщено условие на класс действительных преобразований выпуклых и невыпуклых областей re-мерного евклидова пространства.

Лит.:[1] Лебедев Н. А., Принцип площадей в теории однолистных функции, М., 1975; [2] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., М., 1966; [3] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [4] Авхадиев Ф. Г., Аксентьев Л. А., "Успехи матем. наук", 1975, т. 30, в. 4, с. 3- 60; [5] Гахов Ф. Д., Краевые задачи, 3 изд., М., 1977; [6} Тумашев Г. Г., Нужин М. Т., Обратные краевые задачи и их приложения, 2 изд., Казань, 1965. Л. А. Аксентьев.