Akademik

в комплексной области - общее название многочленов, ортогональных на окружности, по контуру или по площади. В отличие от случая ортогональности в действительной области, многочлены указанных трех систем могут иметь мнимые коэффициенты и рассматриваются при всех комплексных значениях независимого переменного. Характерном особенностью случаев ортогональности в комплексной области является тот факт, что в ряды Фурье по указанным системам разлагаются обычно аналитич. ции комплексного переменного, удовлетворяющие нек-рым дополнительным условиям в окрестности границы области аналитичности.

1) О. м. на окружноcти - система многочленов , имеющих положительный старший коэффициент и удовлетворяющих условию ортогональности (обычно ортонормированности):

где - ограниченная неубывающая на сегменте функция с бесконечным числом точек роста, наз. функцией распределения, а - символ Кронекера. Аналогично случаю ортогональности на отрезке, для многочленов имеют место рекуррентное соотношение и аналог формулы Кристоффеля - Дарбу.

Асимптотич. свойства исследуются при условии

Случай ортогональности на окружности как периодич. случай изучен достаточно подробно, поскольку здесь успешно применяются результаты о приближении периодических функций тригонометрическими полиномами.

Пусть многочлены ортонормированы на сегменте [-1, 1] с дифференциальным весом h(x),a весовая функция на окружности имеет вид

Тогда при условии имеет место формула Сегё

где - старший коэффициент многочлена .

Если аналитическая в круге |z|<l функция f(z) имеет угловые граничные значения на окружности |z|=l, то при нек-рых дополнительных предположениях справедливо разложение

коэффициенты к-рого определяются по формуле

Ряды вида (1) являются непосредственным обобщением рядов Тейлора: при будет . При нек-рых условиях на функцию распределения ряд (1) в точках окружности |z|=1 сходится или расходится одновременно с рядом Тейлора этой же функции f(z), т. е. имеет место теорема о равносходимости этих двух рядов.

2) О. м. по контуру - система многочленов {P_n(z)}, имеющих положительный старший коэффициент и удовлетворяющих условию

где Г - спрямляемая жорданова (обычно замкнутая) кривая в комплексной плоскости, а весовая функция h(z).интегрируема но Лебегу и почти всюду положительна на Г.

Пусть в конечной односвязной области С, ограниченной кривой Г, задана аналитич. ция f(z), граничные значения к-рой на контуре Г интегрируемы в квадрате с весом h(z). Тогда с помощью формулы для коэффициентов

этой функции ставится в соответствие ряд Фурье по ортогональным многочленам:

Эти ряды являются естественным обобщением рядов Тейлора но свойству ортогональности на случай одно-связной области и служат для представления аналитич. ций. Если выполняется условие полноты

где нижняя грань берется по множеству всех многочленов Q_n(z), то ряд (2) сходится к функции f(z) в среднем но контуру Г с весом h(z), а при нек-рых дополнительных условиях и равномерно внутри области G.

3) О. м. по площади - система многочленов , имеющих положительный старший коэффициент и удовлетворяющих условию

где весовая функция h(z).неотрицательна, интегрируема по площади конечной области Си неэквивалентна нулю. Если имеет место условие полноты

где нижняя грань берется по множеству всех многочленов Q_n(z),

то ряд Фурье по многочленам Функции f(z), аналитической в односвязноп области Gсходится к этой функции в среднем по площади области Gс весом h(z), а при нек-рых дополнительных условиях и равномерно внутри области G.

Лит.:[1] Szego G., "Math. Z.", 1920, Bd 6. S. 167-202; 1921, Bd 9, S. 167-90, 218-70; [2] Сar1eman Т., "Ark. for mat., astr. ochfys.", 1922-23, Bd 17, К9, S. 1-30; [3] Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962; [4] Геронимус Я. Л., Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке, М., 1958; [5] Смирнов В. И., "Журнал Ленинградского физико-матем. об-ва", 1928, т. 2, в. 1, с. 155-79; [6] Коровкин П. П., "Матем. сб.", 1941, т. 3, № 3, с. 469- 485; [7] Суетин П. К., "Успехи матем. наук", 1966, т. 21, в. 2, с. 41-88; [8] его же, "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1971, т. 100, с. 1-96. П. К. Суетин.