Akademik

теоремы о продолжении функции с нек-рого множества на более широкое таким образом, что продолженная функция обладает определенными свойствами. К П. т. относятся прежде всего задачи об аналитическом продолжении функций.

Примером теоремы существования непрерывного продолжения непрерывной функции является теорема Брауэра - Урысона: есчи Е - замкнутое подмножество нормального пространства Xи f : Е R - непрерывная действительная ограниченная функция, то существует такая непрерывная ограниченная функция F: XR, что F=f на Е. К числу П. т. относится Хана - Банаха теорема о продолжении линейных функционалов в векторных пространствах.

В евклидовом пространстве П. т. в основном связаны с решением следующих двух задач: 1) продолжение функций с областей, лежащих в пространстве, на все пространство; 2) продолжение функций с границы области на саму область. В обоих случаях требуется, чтобы продолженная функция обладала определенными свойствами гладкости, т. е. принадлежала определенному функциональному классу, зависящему от свойств продолжаемой функции.

Задача о продолжении функции с сохранением непрерывности частных производных с области с достаточно гладкой границей на все пространство была решена М. Хестенсом [3] и X. Уитни [4]. Если на ( п-1)-мерной границе дG области G, лежащей в n-мерном пространстве , заданы функции j_k:dG, k=0, 1, . . ., т, то задача построения такой функции , что для нее

(*)

где п - нормаль к дG, в случае, когда гладкость функций j_k и границы дG описывается в терминах непрерывности и принадлежности Гёльдерову пространству (при наличии, быть может, нек-рых особенностей), рассматривалась Э. Леви [5], Ж. Жиро [6] - [7] и М. Жевре [8]. Изучался также порядок роста частных производных порядка k>m при стремлении аргумента к границе дG области G.

Систематически обе указанные задачи о продолжении функций в разных метриках , для разных измерений и в различных функциональных пространствах изучались С. М. Никольским и его учениками (см. [9], [10]). В терминах ряда функциональных пространств установлены наилучшие характеристики дифференциальных свойств функций, к-рые можно получить при продолжении функции, обладающей заданными дифференциально-разностными свойствами (см. Вложения теоремы). Для задачи (*) было найдено продолжение, наилучшее с точки зрения роста производных порядка k>m при подходе к граничному многообразию (см. [11], [12]).

Часто методы продолжения функций и систем функций (*) с границы области на всю область основаны на интегральных представлениях функций. Подобные методы продолжения функций обычно являются линейными. Существуют и другие методы продолжения функций, напр., основанные на разложении функций в ряды с последующим продолжением каждого члена ряда. Этот метод, вообще говоря, не линейный. Имеются случаи, когда заведомо не существует линейного метода продолжения [13].

Лит.:[1] Хаусдорф Ф., Теория множеств, вер" с нем., М.- Л., 1937; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981; [3] Hestenes М. R., Extension of the range of differentiable function, "Duke Math. J.", 1941, v. 8, p. 183-92; [4] Whitney H., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1934, v. 36, p. 63-89; 1936, v. 40, p. 309-17; [5] Levi Е. В., "Mem. Soc. It. dei XL", 1909, v. 16, p. 3-112; [6] Giraud G., "Ann.-EC. norm, sup.", 1929, t. 46, p. 131-245; [7] его же, там же, 1932, t. 49, p. 1 - 104, 245-308; [8] Gevrey M., "Ann. EC. norm, sup.", 1935, t. 52, p. 39-108; [9] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, 2 изд., М., 1977; [10] Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М., Интегральные представления функций и теоремы вложения, М., 1975; [11] Кудрявцев Л. Д., "Тр. Матем. ин-та АН СССР", 1959, т. 55; [12]

Успенский С. В., "Сиб. матем. ж.", 1966, т. 7, № 1, с. 192-99; М 2, с. 409-18; [13] Буренков В. И., Гольдман М. .71., "Тр. Матом, ин-та АН СССР", 1979, т. 150, с. 31 - 51. Л. Д. Кудрявцев.