Akademik

представления р алгебры Ли в векторном пространстве - отображение алгебры Ли Lв ее поле определения k, для к-рого существует такой ненулевой вектор хпространства V, что

для всех и некоторого целого (вообще говоря, зависящего от хи h), где 1 обозначает тождественное преобразование F. В этом случае говорят также, что - вес L-модуля V, определяемого представлением . Множество всех векторов , удовлетворяющих указанному условию, вместе с нулем образует подпространство , наз. весовым подпространством веса (или, соответствующим весу ). Если , то Vназ. в е-совым пространством, или весовым модулем над , веса .

Если - конечномерный весовой модуль над Lвеса , то контрагредиентный модуль (см. Контрагре-диентное представление) является весовым веса -; если V и W - весовые модули над Lвесов соответственно, то их тензорное произведение является весовым модулем веса . Если L - ниль-потентная алгебра Ли, то весовое подпространство V_a веса является подмодулем L-модуля V. Если, кроме того, , а - расщепляемая алгебра Ли линейных преобразований модуля V, то V разлагается в прямую сумму конечного числа весовых L-подмодулей разных весов:

(весовое разложение F относительно L). Если L - нильпотентная подалгебра конечномерной алгебры Ли M, рассматриваемой как L-модуль относительно присоединенного представления алгебры М, и является расщепляемой алгеброй Ли линейных преобразований М, то соответствующее весовое разложение Мотносительно L:.

наз. разложением Фиттинга Мотносительно L, веса наз. корнями, а пространства - корневыми подпространствами Мотносительно L. Если, кроме того, задано представление алгебры Мв конечномерном векторном пространстве V, для которого - расщепляемая алгебра Ли линейных преобразований V, и

- соответствующее весовое разложение Vотносительно L, то когда есть вес Vотносительно , и =0 в противном случае. В частности, если - корень, то в остальных случаях . Если характеристика поля kравна нулю, то веса и корни , являются линейными функциями на L, обращающимися в нуль на коммутанте алгебры L.

Лит.:[1] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [2] Желобенко Д. П., Компактные группы Ли и их представления, М., 1970. В, Л. Попов.