Akademik

функция Куммера, функция Похгаммера,- решение вырожденного гипергеометрического уравнения

В. г. ф. может быть определена с помощью так наз. ряда Куммера:

где и - параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме - комплексное переменное. Функция наз. вырожденной гипергеометрической функцией 1-го рода. Второе линейно независимое решение уравнения (1)

наз. вырожденной гипергеометрической функцией 2-го рода.

В. г. ф. - целая аналитич. функция во всей комплексной плоскости z; при фиксированном z - целая функция и мероморфная функция g с простыми полюсами в точках

В. г. ф. - аналитич. функция в комплексной плоскости z с разрезом и целая функция и .

В. г. ф. связана с гипергеометрической функцией соотношением

Элементарные соотношения. Четыре функции и наз. смежными с функцией . Между и любыми двумя смежными с ней существует линейная зависимость. Напр.,

Шесть формул такого типа могут быть получены из соотношений между смежными функциями для гипергео-метрич. функций. Последовательное применение этих рекуррентных формул приводит к линейным соотношениям, связывающим функцию с ассоциированными функциями где тип - целые числа.

Формула дифференцирования:

Основные интегральные представления:

Асимптотич. поведение В. г. ф. при может быть изучено с помощью интегральных представлений (см. [1] - [3]). Если , в то время как и ограничены, то поведение функции описывается формулой (2). В частности, при больших и ограниченных и :

Представления функций через В. г. ф. Функции Бесселя:

Многочлены Лагерра:

Интеграл вероятностей:

Интегральная показательная функция:

Интегральная логарифмическая функция:

Гамма-функции:

Элементарные функции:

См. также [1], [2], [3], [8].

Лит,:[1] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, [т. 2], пер. с англ.,2 изд., М., 1973; [2] Градштейн И. С.,Рыжик И. М., Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, 4 изд., М., 1963; [З] Handbook of mathematical functions with formulas, graphs and mathematical tables, N. Y., 1964; [4] Уиттекер Э.-Т., Ватсон Д.-Н., Курс современного анализа, ч. 2-Трансцендентные функции, пер. с англ., 2 изд., М., 1963; [5] Лебедев А. В., Федорова Р. М., Справочник по математическим таблицам, М., 1956; [6] Бурунова Н. М., Справочник по математическим таблицам, М., 1959; [71 An index of Mathematical tables, 2 ed , v. 1, 2, Oxford, 1962; [8] Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.-Л., 1963. 9. А. Чистова.