Akademik

        аксиоматич. (см. Аксиоматический метод) описание логики классов. И. к. рав-нообъёмно исчислению одноместных предикатов (см. Логика предикатов): у этих исчислений совпадают классы как исходных формул, так и выводимых формул (теорем); однако интерпретации этих исчислений различны: исчисление одноместных предикатов интерпретируется как логика содержаний понятий, а И. к.— как логика объёмов понятий. И. к. равносильно в определ. смысле исчислению высказываний и обладает (как и последнее) свойствами непротиворечивости, дедуктивной полноты и разрешимости.

раздел совр. логики, по содержанию соответствующий силлогистике Аристотеля и исторически предшествующий исчислению высказываний, с к-рого теперь обычно начинают рассмотрение математической логики. Первые развитые И. к. были построены (сначала скорее в виде алгебры, а не исчисления в совр. смысле) Булем, Джевонсом, Э. Шрёдером, Пирсом, Порецким. См. Логика классов.

    ИСЧИСЛЕНИЕ КЛАССОВ — формальная теория, В которой описываются булевы соотношения (операции) между классами (множествами) объектов. Исчисление классов составляет часть более общей теории — множеств теории. К числу основных булевых операций относятся операции пересечения, объединения и взятия дополнения. Они обозначаются, соответственно, знаками “ η ”, “ υ ”, “ '” и (на языке элементарной логики) определяются следующим образом: xeAnB=dfXeA&xeB, xeAuBS(jyXeAvxe B, хе А'5=д.-,(хб А).

    Остальные операции, напр. вычитание и симметрическая разность, определяются через основные. Кроме того, с помощью определений можно задать пустой класс: 0 s д. А п А' и универсальный — l s д. А и А', а также ввести отношение включения класса в класс — АсВ=(уАпВ=А.

    Исчисление классов является одной из конкретных реализации булевой алгебры (см. Алгебра логики). Последняя является непротиворечивой, полной и разрешимой теорией, в силу чего эти же свойства верны и для исчисления классов. В качестве модели исчисления классов обычно принимается множество всех подмножеств некоторого множества. Для наглядного представления операций над классами часто используют круги Эйлера или диаграммы Вечна. При рассмотрении двухэлементной булевой алгебры ее реализациями являются двухэлементная логика классов, в которой имеются только универсальный и пустой классы, а также классическая факторалгебра высказываний и теория контактных сетей.

    Исчисление классов эквивалентно одноместному исчислению предикатов (см. Логика предикатов), а также т. н. расширенной аристотелевской силлогистике.

    В. А. Бочаров