Akademik

        1) то же, что и интуиционистская логика; 2) ветвь логики, в которой изучаются финитные (см. Финитизм) рассуждения о конструктивных объектах и процессах (см. Конструктивное направление) и строится соответств. семантика. В К. л. отвергается исключённого третьего принцип и закон снятия двойного отрицания (т. е. закон, согласно которому А влечёт А для любого суждения А; есть знак отрицания). От интуиционистской логики, также отвергающей названные логич. положения, К. л. отличает использование при задании смысла логических операций понятия алгоритма и ряд особых логико-семантич. принципов, в частности сформулированный А. А. Марковым принцип конструктивного подбора, согласно которому если к.-л. конструктивный процесс не является неограниченно продолжаемым, он на некотором шаге неизбежно оборвётся.

(от лат. constructio – построение) – часть математич. логики, соответствующая т.н. конструктивному направлению, характерная особенность к-рого состоит в требовании конструктивности (построяемости) тех объектов, существование к-рых утверждается в предложениях математики и логики. Имеются оттенки этого направления, отличающиеся друг от друга, прежде всего, различным подходом к пониманию понятия существования в применении к абстрактным объектам логики и математики. К. л. есть логика тех приемов рассуждения, к-рые претендуют на конструктивность (в указ. смысле). В зависимости от особенностей того или иного течения внутри конструктивного направления К. л. можно либо отождествлять с интуиционистской логикой (см. также Логика высказываний, Предикатов исчисление), либо считать, что она есть нек-рое расширение этой последней. Так, можно считать, что с позиций конструктивного направления, возглавляемого Марковым и Н. А. Шаниным, К. л. получается из интуиционистской присоединением так называемого принципа конструктивного подбора (см. Конструктивное направление). В разработку различных аспектов конструктивного направления и К. л., помимо упомянутых выше ученых, внесли вклад французский математик Ж. Эрбран, сов. математик М. Шейнфинкель, Клини, Колмогоров, Гёдель, Чёрч, Тьюринг, Кёрри, Лоренцен, немецкий математик К. Шютте и др.

Лит.: Вейль Г., О философии математики, пер. С нем., М.–Л., 1934; Maрков Α. Α., О непрерывности конструктивных функций, "Успехи матем. наук", 1954, т.9, No 3, с. 226–230; его же, Об одном принципе конструктивной математич. логики, в кн.: Тр. третьего Всесоюзн. матем. съезда, т. 2, М., 1956, с. 146–47; Клини С. К., Введение в метаматематику, М., 1957; Проблемы конструктивного направления в математике, [т. ] 1–2, М.–Л., 1958–62; Чёрч Α., Введение в математическую логику, [т. ] 1, М., 1960; Гудстейн Р. Л., Математическая логика, М., 1961; Гейтинг Α., Обзор исследований по основаниям математики, пер. с нем., М.–Л., 1936; его же, Интуиционизм, М., 1964; Вrоuwеr L. Е. J., Over de grondslagen der wiskunde, Amst.–Lpz., 1907, [Thesis ]; его жe, De onbetrouwbaarheid der logische principes, "Tÿdschrift voor wijsbegeerte", 1908, 2, с 152–58; его же, Intuitionism and formalism, "Bull. Amer. Math. Soc.", 1913, v. 20, No 2; eго же, Mathematik, Wissenschaft und Sprache, "Monatsh. Math. und Physik", 1929, Bd 36; Glivenko V., Sur quelques points de la logique de Brouwer, "Bull. de la classe des sci. Acad. Royale de Belgique", 1929, ser. 5, t. 15, No 3, p. 183–88; Heyting Α., Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik, "Sitzungsber. der Preussischen Akad. Wiss. Physikalisch-math. Klasse", 1930, [No ] 2, 10–12; Johansson I., Der Minimalkalkül, ein reduzierter intuitionistischer Formalismus, "Compositio Math.", 1937, v. 4, p. 119–36; Mannоurу G., Mathesis en mystiek, Amst., 1925; его же, Les fondements psycholinguistiques des mathématiques, Nchât., 1947; Fitch F. В., Intuitionistic modal logic with quantifiers, "Portugaliae Math.", 1948, v. 7; Haо Wang, Eighty years of foundational studies, "Dialectica", 1958, v. 12, No 3–4.

    КОНСТРУКТИВНАЯ ЛОГИКА — совокупность логических принципов, признаваемых представителями конструктивизма (в математике) и включающих абстракцию потенциальной, но не актуальной бесконечности, что определенным образом изменяет понимание логических связок и кванторов (по сравнению с их пониманием в классической логике), сочетая это понимание с конструктивными процессами (процессами, описываемыми алгоритмами). Так, дизъюнкция высказываний “А или В” считается обоснованной, если потенциально осуществим конструктивный процесс, позволяющий выбрать верный член этой дизъюнкции; аналогично оценивается обоснованность многочленных дизъюнкций. Близко к пониманию дизъюнкции истолкование квантора существования: утверждение “существует такой х, для которого справедливо условие А> считается обоснованным, если потенциально осуществим конструктивный процесс подбора конструктивного объекта х, подтверждающего условие/!. Обоснование конъюнкции “А и В” состоит в обосновании обоих (т. е. всех) конъюнктивных членов, а утверждение “Для всякого х справедливо условие А” считается обоснованным, если мы в состоянии для всякого объекта рассматриваемого вида доказать, что он удовлетворяет предъявленному требованию. Обоснование импликации “если А, то В” состоит в предъявлении конструктивного процесса, позволяющего по обоснованию утверждения А построить обоснование утверждения В. Отрицание утверждения А обосновывается предъявлением конструкции, приводящей к противоречию всякую попытку обоснования/!.

    Конструктивное истолкование логических связок и кванторов допускает и различные другие уточнения. В частности, созданы различные аксиоматические системы конструктивной логики. Поскольку конструктивная позиция идейно близка интуиционистской, аксиоматические системы, первоначально предназначавшиеся для реконструкции интуиционистски приемлемых рассуждений (см. Интуиционистская логика), называются (или подразумеваются) конструктивными. (Напр., активно изучающиеся суперинтуиционистские логики в 60-е гг. и несколько позже назывались суперконструктивными.) Отличие этих логик от классической проявляется в том, что хотя конструктивно приемлемыми являются, напр., законы ρ -” -τ-ip, -r-r-ip —> -φ, (ρ —> q) -> (-.q —> -.ρ), в этих системах отсутствуют практически все остальные варианты форм рассуждений “от противного” — закон снятия двойного отрицания -.-.ρ —> р, закон контрапозиции (-ip —> -iq) —> (q —> ρ), закон Клавия (-.ρ -> ρ) —> ρ, закон Пирса ((ρ —> q) —> ρ) —> ρ и др. Кроме того, в конструктивной логике связки независимы, т. е. не выражаются друг через друга, нет классической взаимовыразимости кванторов всеобщности и существования. В результате оказываются, в частности, необоснованными рассуждения, приводящие к доказательству т. н. чистых теорем существования, типичным примером которых является доказательство Г. Кантора существования трансцендентных (т. е. действительных, но не алгебраических) чисел: приводится к противоречию предположение о возможности расположить все действительные числа в последовательность, в то время как алгебраические числа в последовательность можно расположить. Чистые теоремы существования (имеется в виду формулировка теоремы, проистекающая из доказательства) имеют вид -τ3χΑ(χ), не переводимый в ЗхА(х), поскольку их доказательства не дают конкретного х, подтверждающего справедливость А, а лишь приводят к противоречию утверждение об отсутствии такого х. Однако ввиду специфики конструктивных объектов и процессов многими представителями конструктивизма (в отличие, скажем, от приверженцев интуиционизма) принимается принцип конструктивного подбора (или принцип Маркова): если имеется алгоритм, позволяющий по произвольному конструктивному объекту х осуществлять конструктивный процесс установления наличия ух свойства Л, то в случае обоснования -г-ЗхА(х) считается обоснованным и ЗхА(х). Взаимосвязи классических и конструктивных логических систем проявляются на пропозициональном уровне в виде т. н. теоремы Гливенко: а) отрицательные утверждения в этих системах одинаковы; б) конструктивно приемлемым является двойное отрицание любого закона классической логики высказываний и наоборот. Для справедливости теоремы Гливенко для предикатных вариантов конструктивных и классических систем необходимо добавление в качестве схемы аксиом в конструктивную систему закона -ι-,(/xA(x) ν -ι хА(х}) и/или закона Уд:-гтД(х) —> -ι-. ^χΑ(χ) (обратная импликация -г-? Ул4(х) -> Vx -τ-ι-Α(χ) принимается в конструктивной логике). Отличительной чертой систем конструктивной логики и построенных на их основе теорий являются т. н. 1) свойство дизъюнкции (или дизъюнктивное свойство) — если выводима дизъюнкция, то выводим и некоторый ее дизъюнктивный член, — и 2) экзистенциальное свойство — если выведена формула Эл4(х), то можно вывести и формулу A(t) при некотором конкретном эффективно разыскиваемом t, т. е. из доказательства существования конструктивного объекта с требуемыми свойствами можно извлечь конструкцию его построения. Кроме аксиоматических систем конструктивной логики, имеются различные семантические построения, отражающие конструктивные воззрения на смысл логических связок, формул и т. д. Наиболее известными являются рекурсивная реализуемость по С. К. Клини и ее варианты, а также разработанная Н. А. Шаниным мажорантная семантика арифметических формул и созданная А. А. Марковым ступенчатая система построения логических языков с одновременным определением их семантики “снизу вверх”.

    Лит.: Марков А. А. О логике конструктивной математики. М., 1972; Новиков П. С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. М., 1977; Он же. Элементы математической логики. М., 1984; Справочная книга по математической логике, т. IV: Теория доказательств и конструктивная математика. М., 1983; Марков А. А., Нагорный Н. М. Теория алгорифмов. 2-е изд. М., 1996.

    А. В. Чагров