Akademik

        логич. система, являющаяся ослаблением конструктивной логики и интуиционистской логики за счёт исключения из числа постулатов принципа «из противоречия следует любое предложение». Этот принцип, как и более сильный «закон двойного отрицания», недоказуем в М. л. Однако в миним. исчислении высказываний всё же можно доказывать от противного отрицат. предложения, опираясь на «закон приведения к абсурду». Логич. средства миним. исчисления предикатов входят в логико-матема-тич. аппарат, используемый в исследованиях по основаниям математики, а также проблем т. н. искусств, интеллекта. Исключение из М. л. «закона приведения к абсурду» приводит к положительной логике, в которой вообще нет доказуемых отрицат. предложений. МИНЦЗЯ (кит., букв.— школа имён), одна из шести филос. школ Др. Китая, называемая также школой логиков, софистов, или диалектиков («спорщиков»). Занималась проблемами связи «имён» (мин) и «действительности» (ши), соотношений между понятиями (именами объектов) и самими объектами, условности имён-понятий (в отличие от др. школ, проблемы эти были для М. центральным, если не единств. предметом их деятельности). Представители М. славились умением спорить, прибегая при этом к помощи парадоксальных утверждений («у курицы три ноги», «огонь не горяч», «только сегодня отправившись в Юе, туда я давно уже прибыл» и т. п.). К нач. н. э. были известны семь произв. школы М., до нас дошли только три: «Дэн Си-цзы» («Трактат учителя Дэн Си»), «Инь Вэнь-цзы» («Трактат учителя Инь Вэня») и «Гунсунь Лун-цзы» («Трактат учителя Гунсунь Луна»). Однако первые два считаются более поздней подделкой, от последнего же сохранилось лишь 6 глав из 14, но и их подлинность различными учёными оценивается по-разному. Важнейшим источником сведений о М. являются записи в трактатах «Чжуан-цзы», «Сюнь-цзы», «Хань Фэй-цзы» и др.

        Наиболее видными представителями М. были Хуэй Ши (ок. 370 — ок. 310 до н. э.) и Гунсунь Лун (ок. 320— ок. 250 до н. э.). Хуэй Ши представлял то из двух осн. направлений М., которое делало упор на общность, единство («великое единство» и «малое единство») тьмы вещей, считало различия между ними условными, относительными и указывало на непрерывную подвижность, изменчивость явлений и вещей: «небо и земля (одинаково) низки, горы и болота (одинаково) ровны», «солнце, только что достигшее зенита, уже находится в закате; вещь, только что родившаяся, уже умирает», «всеобщую любовь (следует распространить) на всю тьму вещей, ибо небо и земля (представляют собой) одно тело».

        Представитель второго направления М. Гунсунь Лун прежде всего подчёркивал различия тьмы вещей, разделяя её общность на отд. элементы. При этом он отрывал частное от общего, имя-понятие от реального объекта, считая, что первое существует самостоятельно по отношению к другому, и абсолютизировал роль качеств. признаков вещей и явлений. Его знаменитые изречения: «белая лошадь — не лошадь», «два не содержит единицы», «только разделение по-настоящему неделимо и подлинно в Поднебесной», «тень летящей птицы не движется» и др. Наряду с поздними монетами (см. Моизм) философы М. внесли значит. вклад в разработку проблем логики.

        Др.-кит. философия, т. 1—2, М., 1972—73; Ян Ю н - г о, етория др.-кит. идеологии, М., 1957, с. 294—375; Го Мо-жо, Философы древнего Китая. («Десять критич. статей»), М., 1961, с. 363—452; Быков Ф. С., Зарождение обществ.политич. и филос. мысли в Китае, М., 1966, с. 192—201; Коu Pao-koh I., Deux sophistes chinois. Houei Che et Kong-souen Long, P., 1953; Pung Yu-lan, A short history of Chinese philosophy, N. Y., 1958, p. 80—92; Moritz R., Hui Shi und die Entwicklung des philosophischen Denkens im alten China B., 1973.

система логич. правил, не использующая не только принципа исключенного третьего (или закона снятия двойного отрицания) классич. математич. логики, но и приемлемого, с т. зр. интуиционистской логики и конструктивной логики, принципа, согласно к-рому "из противоречия следует все что угодно". Т.о., М. л. является результатом дальнейшего (после интуиционизма) пересмотра (с т. зр. всеобщей применимости) принципов классич. логики. Формализациями М. л. служат прежде всего минимальное исчисление высказываний и с ч и с л е н и е п р е д и к а т о в. Минимальное исчисление высказываний может быть, напр., описано след. схемами аксиом (с единств. правилом вывода modus ponens):

1) A ⊃ (B ⊃ A),

2) (A ⊃ В) ⊃ ((А ⊃ (В ⊃ С) ⊃ (А ⊃ С)),

3) А ⊃ (В ⊃ А & В),

4) A & B ⊃ A,

5) А & В ⊃ В,

6) А ⊃ А / В ,

7) В ⊃ А / В,

8) (А ⊃ С) ⊃ ((В ⊃ С) ⊃ (А / В ⊃ С)),

9) (А ⊃ В) ⊃ ((А ⊃ В) ⊃ А).

Добавление к этой (или любой эквивалентной ей) системе схемы аксиом А⊃(А ⊃В) (интерпретируемой как "из противоречия следует все что угодно") или (дедуктивно) эквивалентной ей формулы A/A⊃(A⊃A) приводит к интуиционистскому (гейтинговскому, конструктивному) исчислению высказываний, а добавление схемы Α⊃Α ("закона снятия двойного отрицания") – к классическому. В минимальном исчислении высказываний, более слабом, чем оба вышеуказ. исчисления, можно все же проводить доказательства от противного [2-го вида, см. Косвенное доказательство– это позволяет делать схема аксиом 9), интерпретируемая как "закон приведения к абсурду" ].

Аналогично классич. и интуиционистскому исчислению высказываний минимальное исчисление высказываний может быть расширено до минимального исчисления предикатов. Средствами последнего (хотя это явно и не оговаривается) проводятся доказательства непротиворечивости классич. арифметики, предложенные нем. математиками Г. Генценом (1936, 1938) и К. Шютте (1951), а также П. С. Новиковым (1943). Минимальное исчисление предикатов систематически используется в качестве логич. базы метатеории в работах по т.н. ультраинтуиционистскому обоснованию математики.

Система, получающаяся из минимального исчисления высказываний (предикатов) отбрасыванием схемы аксиом 9), наз. положительным исчислением высказываний (соответственно предикатов). В положит. исчислении высказываний, являющемся формализацией положительной логики, могут быть доказаны все теоремы минимального (и интуиционистского) исчисления высказываний, не содержащие операции отрицания.

Если добавить к исходному базису положит. исчисления произвольную постоянную формулу f ("пропозициональную константу") и определить отрицание так: A ≡ A ⊃ f, где А – формула, то в полученном т.о. исчислении будут выводимы все формулы минимального исчисления. Схема аксиом 9) оказывается тогда просто частным случаем схемы 2). Константу f можно (но необязательно) интерпретировать как "ложь".

Лит.: Колмогоров А. Н., О принципе tertium non datur, Математ. сб., т. 32, вып. 4, М., 1925, с. 646–67; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 94, 490–91; Johansson J., Der Minimalkalkül, ein reduzierter Formalismus, в кн.: Compositio Mathematica, v. 4, fasc. 1, Groningen, 1937; Wajsberg M., Untersuchungen über den Aussagenkalkül von A. Heyting, "Wiadomości Mathematyczne", 1939, t. 46.