Akademik

(операторы дескрипции) – логич. операторы, посредством к-рых вводятся в рассмотрение т.н. описания (описательные о п р е д е л е н и я) – языковые конструкции (выражения), играющие роль собств. имен (в дополнение к собств. именам, входящим в исходный словарь данного языка) или нарицательных (общих) имен (именных частей именных сказуемых) в дополнение к параметрам его исходного словаря. Поэтому О. п. можно наз. также и м я о б р а з у ю щ и м и операторами. В естеств. языках О. п. обычно выражается словосочетаниями двух типов: 1) "тот (та)..., который (ая)..." и 2) "такой (ая)..., что...", или артиклями (в тех языках, в к-рых они есть, напр. в англ., франц. и др.), определенными в первом случае (соответств. описания наз. о п р е д е л е н н ы м и) и неопределенными во втором случае (соответств. описания наз. неопределенными). В логико-матем. формализованных языках О. о., вводящий определенные описания, обозначается, как правило, греч. буквой "йота" (в прямом "ι" или перевернутом "r" написании), наз. йота-оператором (r-оператором) и интерпретируется указанным выше словосочетанием 1-го типа. Он применяется к формулам (предикатам), содержащим по крайней мере одну свободную переменную, к-рую он связывает, преобразуя все выражение в обозначение единств. объекта, являющегося значением этой переменной. Напр., если Р(х) есть предикат x = log37, то rxP(x) есть собств. имя того единств. значения х, при к-ром Р(х) истинно. Существование и единственность этого объекта являются непременным условием применимости О. о. к данному выражению и соответственно условием осмысленности определ. описания. Если условие единственности не выполняется, то такое "определенное" описание естественно рассматривать как неточную формулировку неопредел. описания, интерпретируемого словосочетанием 2-го типа. Точная формулировка неопределенных описаний связана с применением т.н. эпсилон-оператора (ε-оператора), к-рый, как и r-оператор, тоже относит определяемый объект к нек-рому св-ву или отношению и с помощью к-рого тоже можно из формул соответств. исчисления получать предметные имена (т.н. ε-термы) – с той лишь разницей, что для применения ε-оператора не требуется ни доказательства существования определяемого объекта [а только условное допущение такого существования; т.о., ε-оператор отличается от r-оператора тем, что вводимый им объект является, вообще говоря, у с л о в н ы м объектом ], ни доказательства его единственности [т.о., ε-оператор отличается от r-оператора неоднозначностью описания; и, конечно, ε-термы, в отличие от r-термов, полученные из эквивалентных предложений, не удовлетворяют в общем случае аксиомам равенства ]. Одновременно с присоединением к данному формализованному языку О. о., для получающихся в результате формальных объектов, вводятся спец. постулаты (аксиомы), кодифицирующие дедуктивные правила обращения со вновь введенными символами (объектами) и имеющие вид (явных) определений. Вводимые посредством такого рода расширения (правил образования и преобразования) исчислений объекты при нек-рых естеств. условиях элиминируются (устраняются) из расширенных исчислений для весьма широкого класса классических формальных систем [а в случае определенных описаний – и для интуиционистских, см. J. Johansson, Sur le concept de "le" (ou "ce qui") dans le calcul affirmatif et dans les calculs intuitionnistes, в кн.: Les méthodes formelles en axiomatique, P., 1953 ], так что присоединение О. о. к системе, чрезвычайно удобное для практич. целей (и хорошо известное по неформализованным матем. теориям), оказывается в этом смысле несущественным. [Конечно, если при этом О. о. не были введены для решения особой, так сказать, обратной задачи. Напр., ε-оператор был придуман Д. Гильбертом с целью доказательства того, что любому матем. рассуждению, использующему нек-рые абстракции (в частности, оперирующему с кванторами без к.-л. ограничений), можно поставить во взаимнооднозначное соответствие рассуждение без этих абстракций (в частности, рассуждение, в к-ром используемые формулы не содержат кванторов). С др. стороны, напр., Рассел и Куайн в использовании r-onepaтора увидели подходящую возможность "избавиться" от собств. имен (в прямом смысле), считая категорию единичных терминов теоретически излишней. Исключение единичных терминов (путем использования r-выражений с последующим их преобразованием в выражения, содержащие только кванторы) позволяет привести любое предложение (классической) логики к виду предложения о существовании, что отвечает общей номиналистич. программе этих авторов, согласно к-рой в предложениях формализованной теории в качестве значений по крайней мере предметных переменных не должны появляться "несуществующие" предметы. ] Об О. о. см. также Предикатов исчисление.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, [пер. с англ. ], М., 1957, § 74; Карнап Р., Значение и необходимость, [пер. с англ. ], М., 1959, § 7–9; Frege G., Grundgesetze der Arithmetik, Bd 1, Jena, 1893, S. 18–20; Whitehead Α. Ν., Russe1 В., Principia mathematica, v. 1, Camb., 1910, p. 66, 173; Hilbert D. Вernays P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1, В., 1934, S. 383–84; Quine W., Mathematical logic, Camb. (Mass.), 1951, p. 146; его же, From a logical point of view, Camb., 1953, p. 7; Blanché R., Introduction à la logique contemporaine, P., [1957 ]; Suszko R., Zarys elementarne) składni logicznej, Warsz., 1957.