Akademik

Прандтля — Глауэрта теория

Прандтля — Глауэрта теория: линеаризованная теория обтекания тел дозвуковым потенциальным потоком невязкого совершенного газа, первое приближение теории малых возмущений (предложена Л. Прандтлем и Г. Глауэртом в 1927—1930). В её основе лежит предположение о малости возмущений скорости, вносимых телом в однородный установившийся поток, по сравнению со скоростью V(∞) невозмущенного (на бесконечности) набегающего потока и разностью V(∞)-а(∞), где а(∞) — скорость звука в невозмущенном потоке. Это предположение выполняется, если в любой точке угол наклона поверхности тела к направлению V(∞) является малой величиной. В первом приближении квадратами возмущений в уравнениях движения можно пренебречь, что приводит к их существенному упрощению. Потенциал возмущения скорости (φ)в, связанный с потенциалом скорости (φ) соотношением (φ)в = (φ)-V(∞)х, при заданном Маха числе М(∞) удовлетворяет уравнению Прандтля — Глауэрта:
(1-M2(∞))(φ)вxx + (φ)вyy + (φ)вzz = 0
С помощью преобразования Прандтля— Глауэрта
x = (ξ),
y = (η)/(1-M2(∞))1/2,
z = (ξ)/(1-M2(∞))1/2
уравнение для (φ)в сводится к уравнению Лапласа, описывающему течение несжимаемой жидкости. Влияние сжимаемости интерпретируется растяжением физического пространства в поперечных направлениях в соответствии с преобразованием Прандтля — Глауэрта. С увеличением V(∞) создаваемые телом возмущения распространяются в боковом и вертикальном направлениях на большее расстояние, чем в продольном. В остальном поток сжимаемого газа подобен потоку несжимаемого. Соответствие между течениями сжимаемого и несжимаемого газов около заданного профиля устанавливается правилом Прандтля — Глауэрта: распределение коэффициента давления ср при заданном значении М(∞) можно получить из соответствующего распределения ср(п) в сходственных точках потока несжимаемого газа, обтекающего профиль с той же относительной толщиной, если ординаты этого распределения увеличить в 1/(1-M2(∞))1/2 раз, то есть
сp = cрн/(1-M2(∞))1/2.
Аналогичными соотношениями связаны между собой аэродинамические коэффициенты подъёмной силы и момента для потоков сжимаемого и несжимаемого газов. В соответствующих точках таким образом преобразованного поля течения продольный компонент скорости увеличивается в 1/(1-M2(∞))1/2 раз, а вертикальный и боковой компоненты остаются неизменными. Распределения коэффициента давления в сходственных точках будут одинаковыми в том случае, когда в потоке сжимаемого газа профиль имеет в (1-M2(∞))1/2 раз меньшую относительную толщину.
Правило Прандтля — Глауэрта позволяет только проводить перерасчёт рассматриваемых величин в потоке несжимаемого газа на их значения в дозвуковом потоке сжимаемого газа при заданном значении М(∞); задача об обтекании тела потоком несжимаемой жидкости должна решаться соответствующим методом (см. Гидродинамика). Для уточнения П. — Г. т. в областях, сильно возмущённых телом, разработаны методы высших приближений. При трансзвуковых скоростях потока линеаризация уравнений движения становится неприемлемой даже в случае малых возмущений (см. также Линеаризованная теория течений).