Akademik

МНОГОЗНАЧНАЯ ЛОГИКА

МНОГОЗНАЧНАЯ ЛОГИКА: — совокупность логических систем, опирающихся на многозначности принцип. В классической двузначной логике выражения при интерпретации принимают только два значения — «истинно» и «ложно», в М.л. рассматриваются и др. значения, напр. «неопределенно», «возможно», «бессмысленно» и т.п. В зависимости от множества истинностных значений различают конечнозначные и бесконечнозначные логики.
Проблема содержательно ясной интерпретации многозначных систем — наиболее сложная и спорная в М.л.
Об этом выразительно говорит, в частности, обилие интерпретаций, предложенных для самой старой из этих систем — трехзначной логики Я. Лукасе-вича. В соответствии с одной из ее интерпретаций высказывания должны делиться не просто на истинные и ложные, а на истинные, ложные и парадоксальные. Значение «парадоксально» приписывается высказываниям типа «Данное утверждение является ложным», т.е. тем высказываниям, из допущения истинности которых вытекает их ложность, а из допущения ложности — истинность.
Промежуточное значение истолковывалось и как бессмысленное. К бессмысленным относятся высказывания типа «Наполеон — наибольшее натуральное число». Это значение истолковывалось и как «неизвестно» или «неопределенно». Неопределенное высказывание — это высказывание, относительно которого в силу к.-л. (возможно, меняющихся от случая к случаю) оснований нельзя сказать, что оно истинно или ложно. К неопределенным могут относиться, в частности, высказывания, истинностное значение которых является разным в разные моменты времени («Идет дождь»), высказывания с различного рода переменными и т.д.
Эти примеры показывают, что одна и та же многозначная система может иметь разные интерпретации, причем «неестественность» некоторых из них вовсе не означает, что столь же «неестественной» будет и каждая иная интерпретация.
М.л. не отрицает двузначную логику. Напротив, первая позволяет более ясно понять основные идеи, лежащие в основе второй, и является в определенном смысле ее обобщением. В большинстве М.л. отсутствуют отдельные законы двузначной логики. В принципе, можно построить М.л., в которой не имеет места любой, заранее заданный закон двузначной логики. С др. стороны, М.л. таковы, что их законами являются утверждения, не имеющие аналогов в классической логике.
Эти факты не препятствуют, однако, рассмотрению М.л. как своеобразного обобщения двузначной логики. Некоторые утверждения, являющиеся логическими законами при допущении двух значений истинности, перестают быть законами при введении некоторых дополнительных значений. Но в этом случае законами М.л. не оказываются и отрицания соответствующих двузначных законов. Напр., в интуиционистской логике не имеют места не только законы исключенного третьего и приведения к абсурду, но и отрицания этих законов.
Ни двузначность, ни многозначность не являются прирожденными свойствами человеческого мышления. Решение одних проблем может быть получено в рамках двузначной логики, рассуждение о других может оказаться более успешным, если опирается на тот или иной вариант М.л. Вопрос же о том, какой является формальная логика как особая наука с т.зр. числа допускаемых значений истинности, не имеет смысла. Логика никогда не исчерпывалась и тем более не исчерпывается сейчас одной-единственной логической системой. Вопрос о числе допускаемых значений истинности может возникнуть только при построении отдельных логических систем и при решении отдельных логических проблем. Логика же как совокупность всего огромного числа существующих конкретных логических систем, очевидно, не является ни двузначной, ни многозначной.
М.л. существует около полувека. Многие ее проблемы пока не решены или недостаточно исследованы. Тем не менее уже к настоящему времени М.л. нашла большое число приложений, интересных в теоретическом или практическом отношении. Прежде всего открытие М.л. заставило по-новому взглянуть на саму науку логику, ее предмет и используемые ею методы. Оно с особой выразительностью подчеркнуло тот факт, что классическая двузначная логика не является единственно мыслимой и возможной и что современная логика слагается из множества внутренне разнородных логических систем.
Многозначные системы более богаты, чем двузначная логика: в первых имеются функции, невыразимые во второй. Так, если в двузначной логике имеются только четыре разные функции от одного аргумента, то в трехзначной логике их уже, соответственно, двадцать семь. Это послужило основой попыток определить в рамках М.л. такие понятия, которые, будучи взяты сами по себе, не кажутся достаточно ясными и которые неопределимы в двузначной логике. Речь идет прежде всего о модальных понятиях «необходимо», «возможно», «случайно» и т.п.

МНОГОЗНАЧНАЯ ЛОГИКА:         раздел логики, в котором множество истинностных значений содержит более чем два элемента. Если в классич. двузначной логике предложения при интерпретации принимают только два значения — «истинно» и «ложно», то в М. л. рассматриваются и др. значения (напр., «бессмысленно», «неопределённо» и т. п.). Иногда под М. л. понимают логику, не содержащую исключённого третьего принципа и не имеющую модальных операторов. Как и двузначная логика, М. л. имеет два раздела: логику высказываний и логику предикатов. В зависимости от мощности множества истинностных значений различают конечномногозначные логики (напр., n-значные логики Я. Лу-касевича и n-значные логики Д. А.Бочвара) и бесконечномногозначные логики (напр., бесконечнозначная логика Лукасевича и интуиционистская логика). Семантика М. л. изучается как в виде истинностных таблиц, так и в алгебраич. форме. К алгебраич. аспектам М. л. относится изучение функциональных свойств этих логик (в частности, проблема функциональной полноты).

        М. л. находит применение в теории автоматич. устройств, в исследовании проблем т. н. искусств. интеллекта, в теоретич. программировании, а также используется для формализации высказываний, истинностные значения которых зависят он контекста.

        см. также ст. Логика.

        Бочвар Д. А., Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов..., «Математич. сб.», 1938, т. 4(46), № 2, с. 287—308; Яблонский С. В., Функциональные построения в k-значной логике, «Тр. математич. института АН СССР», 1958, т. 51, с. 5—142; Финн В. К., Логич. проблемы информационного поиска, М., 1976; Re scher N., Manyvalued logic, N. ?.— L.— San Francisco, 1969; Goddard L.,Routley E., The logic of significance and context, v. l. N. Y., 1973; H a j ek P., Havranek T., Mechanizing hypothesis formation, В.—Hdlb.—N. ?., 1978,

МНОГОЗНА́ЧНАЯ ЛО́ГИКА: область совр. логики, охватывающая логич. исчисления (исчисления высказываний и предикатов), в к-рых высказываниям приписывается любое конечное (большее, чем 2) или бесконечное множество значений истинности. В М. л. исследуются также свойства этих исчислений (независимость осн. функций, полнота и т.п.) и отношения между ними.

Оставаясь в рамках принципа двузначности (согласно к-рому каждое высказывание либо истинно, либо ложно), логики сталкивались с затруднениями при оценке значений истинности высказываний о переходных состояниях, модальных высказываний, высказываний, в к-рых не указано время или место события, и т.д. Однако эти затруднения смогли сыграть роль стимулов к построению многозначных логич. систем лишь после разработки совр. методики логич. исследования в рамках математической логики. Существенную роль в развитии М. л. сыграла интуиционистская критика классической логики (см. Интуиционизм).

Исторически первой системой М. л. является трехзначное исчисление высказываний Лукасевича (1920). Исходя из анализа свойств и взаимоотношений модальных высказываний (см. Модальная логика), Лукасевич пришел к выводу, что здесь нужна логика, в к-рой, помимо обычных значений истинности ("истинно", "ложно"), фигурирует от треть значение ("возможно"). Независимо от Лукасевича построил систему М. л. Э. Пост (1921). В отличие от Лукасевича, Пост при разработке своей системы М. л. исходил из чисто формальных соображений: он просто допустил, что число значений истинности высказываний может быть бóльшим, чем 2, и исследовал вытекающие из этой гипотезы последствия для логики высказываний.

В трехзначной логике Лукасевича значения истинности высказываний отождествляются с числами 1 (истинно), 0 (ложно) и ½ (третье значение). В качестве основных выбираются две функции [обозначаемые через N и С и соответствующие отрицанию и (материальной) импликации двузначной логики ], к-рые определяются так: (1) Nx=1–x (т. е. Νx=0 при х=1, Νx=1 при х=0 и Νx=¹/2 при х=¹/2). (2) Cxy=min (1,1-х+у) [т. е. значение истинности импликации высказываний х и у равно меньшему из чисел 1 и 1-х+у; напр., при х=1 и у=1/2 импликация Сху имеет значение min (1,1–1+1/2)=1/2 ]. В табличной форме эти определения имеют вид:

ЛОГИКА">

Функции трехзначной логики Лукасевича, соответствующие дизъюнкции и конъюнкции двузначной логики (обозначаемые через А и К), определяются так: (3) Аху=mах (х, у) (т. е. значение истинности дизъюнкции х и у равно большему из значений истинности х и у); (4) Kxy=min (х, у) (т.е. значение истинности конъюнкции х и у равно меньшему из значений истинности х и у). Функции А и К можно определить через N и С, соответственно, как ССхуу и NCCNxNyNy [или в др. символике (см. Логика высказываний): ((x⊃y)⊃y) и ((x⊃y)⊃y) ]. В свою очередь функцию С можно определить через N и А или через N и К. Но в логике трехзначная система Лукасевича известна как система с осн. функциями N и С.

Высказывания, принимающие значение 1 при любых значениях истинности образующих их высказываний (аргументов), рассматриваются в качестве законов трехзначной логики Лукасевича (или тавтологий, или всегда истинных высказываний). Таковы, напр., высказывания CNNхx и CxNNx. Законы: исключенного третьего, ΑхΝx, и противоречия, NKxNx, двузначной логики в трехзначной системе Лукасевича законами не являются, т. к. при x=¹/2 они имеют значение истинности ¹/2(A¹/2N¹/2 = A¹/2¹/2 = ¹/2; NK¹/2N¹/2 = NK¹/2¹/2 = N¹/2 = ¹/2). Не являются в ней законами и их отрицания, т. к. при x=1 и при x=0: ΝΑxΝx=0, ΝΝΚxΝx=0. Логику Лукасевича можно рассматривать как обобщение двузначной в следующем смысле: если исключить третье значение, мы получим обычную двухзначную логику высказываний (см. Алгебра логики).

Система Лукасевича с осн. функциями N и С не является функционально полной, т.е. в ней не все функции можно определить с помощью только N и С. Примером функции, к-рую нельзя определить указ. способом, является функция одного аргумента, принимающая значение ¹/2 при любых его значениях (т.н. функция Слупецкого, обозначаемая через Тх). Система Лукасевича была аксиоматизирована Тарским и М. Вайсбергом. В дальнейшем Лукасевичем были построены др. системы М. л., в частности бесконечно-значная логика. Последняя получается путем обобщения приведенных выше определений функций N и С, при к-ром в качестве значений истинности высказываний принимаются действит. числа от 0 до 1.

Многозначная система Поста характеризуется такими осн. чертами. Среди значений истинности t1 t2, ..., tm (где m может быть любым натуральным числом, но таким, что m≥2) значение t1 соответствует истинности, a tm – ложности. Осн. функции, через к-рые можно определить все остальные, суть отрицание () и дизъюнкция (/). Они определяются так: (I) если x имеет значение ti (l≤i≤m), то имеет значение tк(1≤к≤;m), где к=i+1 при i
систем М. л. с целью развития аппарата логики, изучение свойств таких систем и отношений между ними, создание их общей теории; 2) использование имеющихся систем М. л. (и построение новых) для решения конкретных задач науч. исследования. В первом направлении шли работы польских логиков С. Яськовского и Е. Слупецкого, а также работы Д. Вебба, Дж. Россера, А. Тюркетта, Дж. Роуза, сов. ученых С. В. Яблонского, А. В. Кузнецова и др. При этом были построены разнообразные непротиворечивые и полные (в различных смыслах) многозначные исчисления, в частности исчисления с бесконечным числом значений истинности высказываний, разработаны общие методы построения исчислений, удовлетворяющих определ. требованиям, выяснены взаимоотношения функциональных (матричных) и аксиоматич. построений в М. л., взаимоотношения двузначных и многозначных систем, выявлены критерии полноты отд. типов исчислений М. л. (напр., трехзначных) и т.п. Построения М. л. охватили и сферу логики предикатов (напр., Россер и Тюркетт построили многозначное предикатов исчисление первой ступени).

Во втором направлении шли работы А. Гейтинга, сов. ученых Д. А. Бочвара и В. И. Шестакова, работы Рейхенбаха, Клини, франц. ученой П. Детуш-Феврие и др. Так, Гейтинг формализовал интуиционистскую логику высказываний (к-рую в силу результата К. Гёделя можно рассматривать как М. л. с бесконечным числом значений истинности) с целью оправдать исключение из числа логич. средств принципа исключенного третьего; Бочвар построил трехзначную логику с целью решения парадоксов логики путем формального доказательства бессмысленности определ. высказываний; Рейхенбах использовал трехзначное построение для преодоления ряда филос. и логич. трудностей квантовой механики; Шестаков исследовал возможности моделирования М. л. предложений посредством электрич. схем. Идеи и аппарат М. л. использовались и разрабатывались также (Лукасевич, Рейхенбах) в связи с теорией вероятностей (Если в к.-л. бесконечно-значной системе логики пропозиц. переменные истолковать как события, то ее значения истинности естественно интерпретировать как вероятности этих событий), в связи с системами строгой и сильной импликаций (К. И. Льюис, нем. математик В. Аккерман) и т.д. В последние годы делаются серьезные попытки использования М. л. в кибернетике (напр., в теории программирования, при разработке информационно-логич. машин и др.).

Исчисления (системы) М. л. задаются чаще всего с помощью истинностных таблиц (матриц), определяющих логич. операции. Известны исчисления, в к-рых число значений истинности предполагается равным трем, четырем и т.д., а также системы, где предполагается любое конечное или бесконечное множество значений. Для любой такой системы имеет смысл задача обзора всех возможных функций истинности. Число таких функций для m аргументов при n значениях истинности равно n^nm. Осн. путь при этом состоит в том, чтобы свести исследование сложных функций к исследованию элементарных, отыскать нек-рое (обычно конечное) множество функций, с помощью к-рых можно определить (записать) все возможные функции данной системы. Сами осн. функции не должны при этом сводиться друг к другу. Известно много систем М. л., в к-рых все возможные функции истинности могут быть определены с помощью основных (функционально полные системы). Таковы, напр., системы Поста, Лукасевича – Слупецкого, Россера – Тюркетта и др. Полной является система, основывающаяся на одной единственной функции – т.н. функции Вебба, к-рая является анáлогом и обобщением функции Шеффера двузначной логики. Эта функция определяется (для n-значной логики, в к-рой значениями истинности являются 0, 1, 2, ..., n–1, где n≥2) как [max (x, у) +1 ] (modn).

В качестве удобного метода обзора тавтологий систем М. л., заданных с помощью матриц, можно использовать их аксиоматическое описание. При этом для каждого матричного построения существует хотя бы одно аксиоматическое, эквивалентное ему (что означает, что множество выводимых в этом аксиоматич. построении формул совпадает с множеством тавтологий данного матричного построения). Однако не для всякого аксиоматич. построения имеется эквивалентное ему матричное (таковы, напр., системы строгой импликации). Для интуиционистского исчисления высказываний имеется эквивалентное матричное построение лишь при счетнобесконечном числе значений истинности (работы Яськовского, сов. математика Б. Ю. Пильчак, Дж. Роуза).

Возникновение и развитие М. л., а также попытки использования ее при решении науч. проблем поставили ряд филос. вопросов, – таких, как вопросы о понимании дополнительных (кроме истинности и ложности) значений истинности с т.зр. теории отражения, о взаимоотношении М. л. и двузначной логики, о связи логики с особенностями исследуемой предметной области и т.п. Выяснилось, что М. л. не противоречит двузначной логике, а находится с ней в различных отношениях иного рода: для построения n-значных систем достаточно (мета)языка двузначной логики; многозначные построения выступают как обобщения двузначного построения, так что последнее есть частный случай (при n=2) первых; из двузначной логики могут быть получены многозначные системы по определ. правилам и т.п. Факты интерпретации многозначных логич. систем в виде модальной логики, логики нормативных высказываний, на языке технич. устройств, на языке квантовой механики и т.п. показали, что эти системы имеют вполне реальный смысл, являясь отображением свойств определ. предметных областей. Использование связанных с идеями М. л. дополнит. значений истинности, таких, как бессмысленность, неопределенность, неразрешимость и т.п., получило широкое распространение в науке. Возникновение М. л. показало ошибочность представлений об абсолютном, априорном, независимом от развития познания действительности характере законов двузначной логики. Вместе с тем М. л. выступила как более глубокое и обобщенное (сравнительно с двузначной логикой) средство исследования свойств человеч. мышления.

Лит.: Бочвар Д. Α., Об одном трехзначном исчислении..., Матем. сб., нов. сер., т. 4(46), вып. 2, 1938; его же, К вопросу о непротиворечивости одного трехзначного исчисления, там же, нов. сер., т. 12 (54), вып. 3, 1943; Шестаков В. И., Представление характеристических функций предложений посредством выражений, реализуемых релейно-контактными схемами, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1946, т. 10, No 6; его же, Моделирование операций исчисления предложений посредством простейших четырехполюсных схем, в сб.: Вычислительная математика и вычислительная техника, вып. 1, М., 1953; его же, О двойной арифметич. интерпретации трехзначного исчисления высказываний, в сб.: Применение логики в науке и технике, [М., 1960 ]; Яблонский С. В., О функциональной полноте в трехзначном исчислении, "Докл. АН СССР", т. 95, 1954, вып. 6; его же, Функциональные построения в к-значной логике, Тр. Математич. ин-та АН СССР, т. 51, 1958; Лукасевич Я., Аристотелевская силлогистика с точки зрения совр. формальной логики, пер. с англ., М., 1959; Łukasiewicz J., O logice trójwartościowej, "Ruch Filozoficzny", rok 5, 1920, No 9; Post E. L., Introduction to a general theory of elementary propositions, "Amer. J. Math.", 1921, v. 43, No 3; Heyting Α., Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik, "Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. Physikalischmathematische Klasse", Jg 1930, Stück 2; Łukasiewicz J., Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls, "Sprawozdania z posiedzeń Towarzystwa Naukowego Warszawskiego", wydział 3, rok 23, 1930; Łukasiewicz J., Tarski Α., Untersuchungen über den Aussagenkalkül, там же; Słupecki J., Pelny trójwartościowy rachunek zdań, "Sprawozdania z posiedzeń Towarzystwa Naukowego Warszawskiego", wydział 3, rok 29, 1936; Wajsberg M., Aksjomatyzacja trójwartościowego rachunku zdań, там же, wydział 3, rok 24, 1931; Lewis С. I., Langford С. H., Symbolic logic, N. Y.–L., 1932; Webb D. L., Generation of any N-valued logic by one binary operation, "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1935, v. 21; его же, The algebra of n-valued logic, "Sprawozdania z posiedzeń Towarzystwa Naukowego Warszawskiego", wydział 3, rok 29, 1936–37; Zawirsкi Z., Geneza i rozwój logiki intuicjonistycznej, "Kwartalnik Filozoficzny", 1946, t. 16; Destouсhes-Février P., La structure des théories physiques, P., 1951; Rosser J. B. and Turquette A. R., Many-valued logics, Amst., 1952; Suszko R., Formalna teoria wartości logicznych, "Studia Logica", t. 6, 1957.

A. Зиновьев. Москва.