Заимствование из старославянского, где кычити, образовано от кыка – "волосы на голове". Исконное значение кичиться – "поднимать чуб" с последующим переосмыслением в "задирать нос".
Этимологический словарь русского языка. — СПб.: ООО "Виктория плюс". Крылов Г. А.. 2004.