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Laplace-Transformation

 

[la'plas-; nach P. S. Marquis de Laplace], eine mit dem Fourier-Integral (Fourier-Transformation) verwandte Integraltransformation, die mit dem Integralkern K (s, t) = e^-st definiert wird. Man unterscheidet ein- und zweiseitige Laplace-Transformationen

 

(sind die Grenzen endlich auch endliche Laplace-Transformation). Bei der Laplace-Transformation wird einer Originalfunktion f (t) der reellen Variablen t eine als Laplace-Transformierte von f (t) oder als Bildfunktion bezeichnete Funktion F (s) der komplexen Variablen s zugeordnet. Das auftretende Integral wird als Laplace-Integral bezeichnet. - Man wendet Laplace-Transformationen an, um eine leichter lösbare Funktion zu erhalten (insbesondere bei gewöhnlichen linearen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten). Die Lösung des Anfangsproblems erhält man durch Rücktransformation mithilfe der Umkehrformel

 

bei geeignetem reellem ς.