I. с винительным падежом
1. Употребляется при указании предмета, места, ниже которых направлено действие, движение. Положить под стекло. Поставить чемодан под кровать. Пьер сел на диван, поджав под себя ноги (Л. Толстой).
2. При обозначении состояния, положения, в которые ставят кого-либо, что-либо. Взять под контроль. Отдать под суд. Отдали меня под надзор полиции... (Горький).
3. При указании места, в непосредственную близость к которому направляется кто-либо, что-либо. Четыре человека отделились и во весь опор подскакали под самую крепость (Пушкин).
4. При указании на время, которое непосредственно предшествует какой-либо дате, празднику. Под воскресенье. Под вечер иду берегом... слышу, кто-то в чаще щелкает (Марков).
5. При указании на звуки, сопровождающие действие. Петь под гитару. Под аккомпанемент рояля. Под этот вальс весенним днем ходили мы на круг... (Исаковский).
6. При указании на назначение предмета. Банка под варенье. Склад под овощи. Согласны вы отдать землю под дачи... (Чехов).
7. При указании на лицо, предмет, которому подражают, сходство с которым придают. Мебель под орех. В зале блестящий пол, выкрашенный под паркет... (Чехов).
8. При указании на орудие действия. Писать под копирку. Остричь под машинку. Волосы его, обстриженные под гребенку, были белы как снег (Григорович).
9. При указании на то, что служит порукой чего-либо. Выдать под залог. Отпустить под честное слово. Типографщик дал факиру денег — под проценты — на устройство представления (Вс. Иванов).
II. с творительным падежом
1. Употребляется при указании лица, предмета, ниже которого что-то находится, происходит. Стоять под навесом. Лежать под одеялом. Под ним струя светлей лазури... (Лермонтов).
2. При указании условий, которые создаются для кого-либо, чего-либо. Под защитой друга. Под присмотром матери. Днем стадо под моим надзором на лугу... (Крылов).
3. При указании, в результате чего совершается действие. Под действием тепла. И хозяин и прислуга оживились под влиянием его веселости (Л. Толстой).
4. При указании обстоятельств совершения действия. Уйти под предлогом занятости. Сообщить под секретом. Операция под наркозом. Писать под псевдонимом.
5. При указании места, около которого что-то находится, происходит. Леса под Москвой. Бои под городом. В сентябре под Якутском было еще довольно тепло (Короленко).
6. При указании предмета, имеющегося при другом предмете. Дом под железной крышей. Судно под советским флагом. Марколов пошел в свою спальню и вынес оттуда небольшой портрет Марианны под стеклом (Тургенев).
Пунктуация и управление в русском языке. Д.Э. Розенталь.