чем и что чем.
1. чем (поесть немного, наскоро или вообще поесть). Прощаясь с домочадцами, они только что сытно закусили пышками со сметаной... (Чехов). Закусив остатками мяса, мы пошли далее (Арсеньев).
2. что чем (заесть что-л. выпитое). [Облонский] подошел к буфету, закусил водку рыбкой (Л. Толстой).
3. чего (устар.). Вы на другой день только закусили семги (Гоголь). Закусили сначала балычка да икорки (Лесков).
Пунктуация и управление в русском языке. Д.Э. Розенталь.