с кем-чем, в чем (устар. на что).
1. с кем-чем (соперничать). В капиталистических странах сельскохозяйственные районы борются, конкурируют друг с другом (Михайлов).
2. в чем (объект конкуренции). Конкурировать в торговле.
3. на что (участвовать в конкурсе — соревновании, дающем возможность выявить наиболее достойного участника). Берлиоз уже несколько лет находился в консерватории и начал конкурировать на премию (Кюи).
Пунктуация и управление в русском языке. Д.Э. Розенталь.