Akademik

- проблемы, названные по имени П. Кузена [1], к-рый впервые решил их для простейших областей в пространстве пкомплексных переменных С".

Первая (аддитивная) проблема Кузена (I К. п.). Дано покрытие комплексного многообразия Моткрытыми подмножествами U_a и в каждом U_a задана мероморфная функция f_a, причем функции голоморфны в ~ для всех индексов (условие согласования). Требуется построить функцию f, мероморфную на всем многообразии Ми такую, что функции голоморфны в U_a для всех a. Другими словами, надо построить глобальную мероморфную функцию с локально заданными полярными особенностями.

Функции определенные в попарных пересечениях элементов покрытия определяют голоморфный коцикл 1-го порядка для т. е. удовлетворяют условию

для всех Более общая проблема (так наз. I К. п. в когомологической формулировке) заключается в следующем. На попарных пересечениях покрытия заданы голоморфные функции удовлетворяющие условию коцикличности (1). Требуется найти функции голоморфные в и такие, что

для всех Если соответствуют данным I К. п. и указанные существуют, то функция

определена и мероморфна на всем многообразии Ми является решением данной I К. п. Обратно, если f - решение I К. п. с данными то голоморфные функции удовлетворяют (2). Таким образом, конкретная I К. п. разрешима тогда и только тогда, когда соответствующий ей коцикл является голоморфной кограницей (т. е. выполняется условие (2)).

I К. п. можно формулировать в локализованном варианте. Каждому набору данных с условием согласования соответствует однозначно определенное глобальное сечение пучка - пучки ростков мероморфных и голоморфных функций соответственно, причем любое глобальное сечение соответствует какой-нибудь I К. п. (значение сечения соответствующего данным в точке есть элемент с представителем ). Отображение глобальных сечений переводит каждую мероморфную на Мфункцию f в сечение пучка где - класс в ростка f в точке Локализованная I К. п. заключается в том, чтобы для данного глобального сечения пучка найти мероморфную на Мфункцию f (т. е. сечение ) такую, что

Теоремы о разрешимости I К. п. можно рассматривать как многомерное обобщение Миттаг-Леффлера теоремы, о построении мероморфной функции с данными полярными особенностями. I К. п. в когомологич. формулировке с фиксированным покрытием разрешима (для произвольных согласованных ) тогда и только тогда, когда (когомологии Чеха для покрытия с голоморфными коэффициентами тривиальны).

Конкретная I К. п. на Мразрешима тогда и только тогда, когда соответствующее ей сечение принадлежит образу отображения Произвольная I К. п. на Мразрешима тогда и только тогда, когда - отображение на (сюръективно). На любом комплексном многообразии Мимеет место точная последовательность

Если когомологии Чеха для М с коэффициентами в тривиальны (т. е. ), тоj - отображение на и для любого покрытия многообразия М. Таким образом, если то на Мразрешима любая I К. п. (в классической, когомологической и локализованной формулировках). В частности, I К. п. разрешима во всех областях голоморфности и на Штейна многообразиях. Если область то I К. п. в Dразрешима тогда и только тогда, когда D - область голоморфности. Пример неразрешимой I К. п.:

Вторая (мультипликативная) проблема К у з е н а (II К. п.). Дано открытое покрытие комплексного многообразия М и в каждом задана мероморфная функция на каждой компоненте причем функции голоморфны и нигде не равны нулю в для всех (условие согласования). Требуется построить мероморфную на Мфункцию f такую, что функции голоморфны и нигде не равны нулю в для всех a.

Когомологическая формулировка II К. п. Дано покрытие и в попарных пересечениях заданы голоморфные нигде не равные нулю функции образующие мультипликативный коцикл первого порядка, т. е.

Требуется найти функции голоморфные и нигде не равные нулю в такие, что для всех a, b. Если коцикл соответствует данным II К. п. и указанные существуют, то функция определена и мероморфна всюду на Ми является решением данной II К. п. Обратно, если данная II К. п. разрешима, то соответствующий ей коцикл является голоморфной кограницей.

Локализованная II К. п. Каждому набору данных II К. п. соответствует однозначно определенное глобальное сечение пучка (аналогично I К. п.), где (0 - нулевое сечение) - мультипликативный пучок ростков мероморфных функций и - подпучок у к-рого каждый слой состоит из ростков голоморфных функций, отличных от нуля в точке z. Отображение глобальных сечений

сопоставляет мероморфной функции f сечение пучка - класс в ростка f в точке z, Локализованная II К. п. заключается в следующем: дано глобальное сечение пучка требуется найти мероморфную функцию f на М, на компонентах М(т. е. глобальное сечение )., такую, что

Сечениям однозначно соответствуют дивизоры, поэтому пучок наз. пучком ростков дивизоров. Дивизор на комплексном многообразии М - это формальная локально конечная сумма где - целые числа и - аналитические подмножества Мчистой коразмерности 1. Каждой мероморфной функции f соответствует дивизор, слагаемые к-рого - неприводимые компоненты нулевого и полярного множеств f с соответствующими кратностями причем кратности нулей берутся со знаком плюс, а кратности полюсов- со знаком минус. Отображение y сопоставляет каждой функции f ее дивизор (f); такие дивизоры наз. собственными. II К. п. в терминах дивизоров заключается в следующем: на многообразии Мзадан дивизор требуется построить мероморфную на Мфункцию f такую, что

Теоремы о разрешимости II К. п. можно рассматривать как многомерные обобщения теоремы Вейерштрасса о построении мероморфной функции с данными нулями и полюсами. Аналогично I К. п., для разрешимости всякой II К. п. в когомологич. формулировке необходимо и достаточно условие К сожалению, пучок не когерентен, и это условие менее эффективно. При попытке свести данную II К. п. к I К. п. путем логарифмирования возникает препятствие в виде целочисленного коцикла 2-го порядка и получается точная последовательность

где 2 - постоянный пучок целых чисел. Таким образом, если то на Мразрешима любая II К. п., любой дивизор является собственным. Если М - многообразие Штейна, то a - изоморфизм, поэтому топологич. условие на многообразии Штейна Мявляется необходимым и достаточным для разрешимости II К. п. в когомологич. формулировке. Сквозное отображение

сопоставляет каждому дивизору элемент с группы к-рый наз. классом Чжэня дивизора Конкретная II К. п., соответствующая дивизору разрешима при условии тогда и только тогда, когда класс Чжэня дивизора А тривиален, т. е. с На многообразии Штейна отображение ссюръективно, более того, любой элемент из имеет вид для нек-рого дивизора с положительными кратностями Таким образом, препятствия для решения II К. п. на многообразии Штейна М полностью описываются группой Н ²( М, Z).

П р и м е р ы. 1) I К. п. неразрешима, II К. п. неразрешима, напр. для дивизора с кратностью 1.

2) - одна из компонент пересечения Мплоскостью с кратностью 1; II К. п. неразрешима ( М - область голоморфности, I К. и. разрешима).

3) I К. п. и II К. п. разрешимы в областях - плоские области и все D_j, кроме, быть может, одной, односвязны.

Лит.:[1] С о u s i n P., "Acta math.", 1895, v. 19, p. 1-62; [2] III а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976; [3] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969. Е. М. Чирка.