Akademik

группа Ли, разрешимая как абстрактная группа. В дальнейшем рассматриваются вещественные или комплексные Ли р. г.

Нильпотентная, в частности абелева, группа Ли разрешима. Если F={V_i} - полный флаг в конечномерном векторном пространстве V(над или ), то

является разрешимой алгебраич. подгруппой в GL(v) и, в частности, Ли р. г. Если в Vвыбрать базис, согласованный с флагом F, то в нем элементы группы В(F).представятся невырожденными верхними треугольными матрицами; полученная матричная Ли р. г. обозначается через Т( п, К), где

Алгебра Ли группы Gразрешима тогда и только тогда, когда разрешима связная компонента единицы (G)₀ группы G. Алгебрами Ли групп В(F).и Т( п, К).являются соответственно t(F).и t (n, К).(см. Ли разрешимая алгебра). В силу соответствия между подалгебрами в и связными подгруппами Ли в G на Ли р. г. переносятся все свойства разрешимой алгебры Ли (см. [1], [3]).

Для Ли р. г. справедлив аналог теоремы Ли о разрешимых алгебрах Ли: если - конечномерное комплексное представление Ли р. г. G, то существует полный флаг F в F такой, что В частности, в Vсуществует общий собственный вектор для всех

Ли р. г. были впервые рассмотрены С. Ли (S. Lie), предполагавшим, что непрерывные группы могут играть в теории интегрирования в квадратурах дифференциальных уравнений ту же роль, что группа Галуа в теории алгобраич. уравнений. Однако, вообще говоря, группа автоморфизмов дифференциального уравнения тривиальна, и поэтому только для линейных и нек-рых других уравнений в этом направлении получены содержательные результаты. Так, для этих уравнений выразимость решений через квадратуры и экспоненты от них фактически эквивалентна разрешимости соответствующей (матричной) группы Галуа [2]. Если же эта группа нильпотентна, то экспоненты от квадратур в решение не входят.

В силу теоремы Леви - Мальцева о разложении в полупрямое произведение произвольной связной односвязной группы Ли Ли р. г. играют существенную роль при изучении произвольных групп Ли. В произвольной связной группе Ли G рассматриваются также максимальные разрешимые подгруппы. Если то они наз. борелевскими и сопряжены в группе G. Напр., В(F) - борелевская подгруппа в GL(V).

Односвязная Ли р. г. всегда имеет точное конечномерное представление, для неодносвязных это не всегда так. В односвязной Ли р. г. произвольная связная подгруппа замкнута и односвязна [6]. Экспоненциальное отображение даже для одно-связной Ли р. г. не обязано быть ни инъективным, ни сюръективным. Ли р. г., для к-рых ехр - диффеоморфизм, наз. экспоненциальными (см. Ли экспоненциальная группа). Односвязная Ли р. г. диффеоморфна а произвольная связная Ли р. г.- где Т ^т есть m-мерный тор.

Связная линейная Ли р. г. над представляется в виде полупрямого произведения где К - компактная абелева подгруппа, a S - односвязный нормальный делитель. Алгебраическая связная разрешимая группа над любым полем характеристики О разлагается в полупрямое произведение нормального делителя, состоящего из унипотентных элементов, и абелевой подгруппы, состоящей из полупростых элементов [3]. Для связных Ли р. г. можно определить [4] аналог расщепления Мальцева.

Если алгебра Ли связной группы Ли Gтреугольна (над ), то Gназ. треугольной. Для треугольных групп Ли справедлив аналог Ли теоремы о разрешимых алгебрах. Максимальные связные треугольные подгруппы в произвольной связной группе Ли сопряжены [5]. Связная треугольная группа Ли изоморфна подгруппе в и является экспоненциальной группой, если она односвязна.

Лит.:[1] Б у р б а к и Н.. Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [2] К а п л а н с к и й И., Введение в дифференциальную алгебру, пер. с англ., М., 1959; [3] Шевалле К., Теория групп Ли, пер. с франц., т. 3, М., 1958; [4] Auslander L., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1973, v. 79, p. 227-61; [5] В и н б е р г Э. В., "Докл. АН СССР", 1961, т. 141, с. 270 - 73; [6] Мальцев А. И., Избр. труды, т. 1, М., 1976, с. 177-200.

В. В. Горбацевич.