Akademik

термин, обозначающий серию задач, связанных с изучением экстремалей и глобальных минимумов функционала k-мерного объема , определенного на k-мерных обобщенных поверхностях, вложенных в n-мерное риманово пространство М ^п и удовлетворяющих тем или иным граничным условиям.

В истории развития указанной вариационной задачи (см. Плато задача).выделяются несколько периодов, характеризующихся различными подходами к понятиям "поверхности", "границы", "минимизации" и, соответственно, методами получения минимального решения. Многомерная задача Плато формулируется так. Пусть - фиксированное замкнутое гладкое (k-1)-мерное подмногообразие в римановом пространстве М ⁿ и пусть Х(А) - класс всех таких пленок (поверхностей) , имеющих границей многообразие А, причем каждая пленка допускает непрерывную параметризацию (представима в виде образа нек-рого многообразия с краем), т. е. X=f(W), где W- нек-рое k-мерное многообразие с краем дW, гомеоморфным - непрерывное отображение, совпадающее с фиксированным гомеоморфизмом па крае дW, то есть Вопрос: можно ли найти в классе X(А).пленку , к-рая была бы в каком-либо разумном смысле минимальной, напр. чтобы ее k-мерный объем был наименьшим по сравнению с k-мерными объемами других пленок X из этого же класса? Оказалось, что перенесение классич. "двумерных" методов на многомерный случай наталкивается на серьезные трудности. Это привело к тому, что классич. постановка П. м. з. была на время оставлена и задача была сформулирована в иных (гомологических) терминах. Если отбросить понятие многообразия-пленки с краем дW=A и сильно расширить понятие пленки и ее границы, ослабив связь пленки с ее границей (в частности, если рассматривать непараметризованные пленки), отбросив условие X=f(W), то П. м. з. может быть сформулирована на языке обычных целочисленных гомологии H_*: найти минимальную пленку Х ₀, аннулирующую фундаментальный цикл многообразия А(в предположении, что Аориентируемо), т. е. i_*[A]=0, , где i_* - гомоморфизм, индуцированный вложением . Для решения П. м. з. в этой новой расширенной постановке был разработан (см. [1], [2]) геометрич. подход, при к-ром минимизировался функционал k-мерной хаусдорфовой меры (объема), определенный на k-мерных измеримых компактах (поверхностях) в М ⁿ, и развита (см. [3], [4]) теория интегральных потоков и варифолдов, носителями к-рых являются k-спрямляемые подмножества в М ⁿ. Однако указанное расширение понятия границы пленки в терминах гомологии H_* (то есть k-1-мерное многообразие Асчитается границей k-мерной пленки W, если при вложении фундаментальный цикл [А]аннулируется) означает отход классич. постановки П. м. з., так как, располагая теоремой существования минимального решения в гомологич. классе Х(А), по-прежнему ничего нельзя сказать о существовании минимального решения в классе всех пленок, являющихся непрерывными образами многообразий с краем, т. е. допускающих параметризацию. Дело в том, что если многообразие Агомологично нулю (как цикл) в пленке Х ₀, то Х ₀ не обязательно допускает представление в виде X₀=f(W₀), где W₀ - нек-рое k-мерное многообразие с краем.

В классич. постановке, т. е. в терминах пленок вида X=f(W), где Wсуть k-мерные многообразия с краем А, П. м. з. была решена (см. [5], [6]). При этом было замечено, что классическая П. м. з. допускает эквивалентную формулировку на языке бордизмов. Пусть Vесть (k-1)-мерное компактное ориентированное замкнутое многообразие, - непрерывное отображение; пара (V, f) наз. сингулярным бордизмом М ^п, Два бордизма (V₁, f₁) и (V₂, f₂) наз. эквивалентными, если существует k- мерное ориентированное многообразие Wс краем (где - V₂ означает V₂ с обратной ориентацией) и непрерывное отображение такое, что . Бордизм (V, f) эквивалентен нулю, если . Классы эквивалентности сингулярных бордизмов образуют абелевы группы, к-рые после выполнения процесса стабилизации образуют одну из обобщенных теорий гомологии (теорию бордизмов). П. м. з. формулируется (на этом языке) так: а) можно ли среди всех пленок и обладающих тем свойством, что сингулярный бордизм (A, i).(где - вложение) эквивалентен нулю в X, найти Х ₀ с наименьшим объемом б) Можно ли среди всех сингулярных бордизмов (V, g).(где ), эквивалентных данному бордизму (V', g'), найти такой бордизм (V₀, g₀), чтобы объем пленки был бы наименьшим? Положительный ответ на эти вопросы см. в [5], [6], [13].

Классическая П. м. з. значительно отличается от ее гомологич. варианта. На рис. 1 показаны контур A = S¹ и пленка X, стремящаяся занять в R³ положение, соответствующее наименьшей площади. В нек-рый момент наступит склейка, схлопывание пленки, в результате чего вместо двумерной трубки Тпоявится одномерный отрезок Р.

В двумерном случае отрезок Рможет быть непрерывно отображен в двумерный диск, заклеивающий А. В многомерном случае описанный эффект появления у минимальной пленки зон меньших разномерностей присутствует еще в большей степени, причем если в двумерном случае все такие куски Р,, можно было отобразить без потери параметризующих свойств пленки Х ₀ в k-мерную (двумерную) часть этой пленки, то при k>2 эти зоны меньшей размерности, в общем случае, неустранимы (если мы хотим сохранить топологич. свойство пленки Х ₀, аннулирующей бордизм (A, i)). В силу тех же причин зоны меньшей размерности не могут быть отброшены, так как k-мерная часть пленки Xможет вообще не допускать непрерывной параметризации и, тем самым, вообще говоря, не аннулирует бордизм (A, i). Это показывает необходимость введения стратифицированного объема пленки X, составленного из объемов всех ее зон Х ⁽ⁱ⁾, то есть (, ). Теорема, являющаяся решением П. м. з., формулируется так (см. [5], [6]): существует глобально минимальная поверхность, минимизирующая стратифицированный объем.

Следствие: для любого фиксированного (k-1 )-мерного ориентированного гладкого замкнутого подмногообразия Ав римановом пространстве М ⁿ (в том случае, когда ) существует глобально минимальная поверхность X₀=f₀(W₀), аннулирующая бордизм ( А, i).(в частности, k-мерный объем пленки Х ₀ не больше /с-мерного объема любой пленки вида X=f(W)), см. [5], [13]. Более того, пленка Х ₀ минимальна в каждой своей размерности ; если Х ^(S) - часть пленки X, имеющая размерность s, то Х ^(S) содержит подмножество Z^(S), s-мерный объем к-рого равен нулю, а дополнение X^(S)^(S) является открытым "-мерным всюду плотным в Х ^(S) аналитич. одмногообразием в М ⁿ. Здесь Z^(S) - множество сингулярных точек в размерности s.

Этот результат является частным случаем общей теоремы существования и почти всюду регулярности глобально минимальной поверхности, доказанной (см. [5], [6], [13] для любой обобщенной теории (кад)гомологией и для любого набора краевых условий. Кроме того, такая поверхность существует и в каждом стабильном гомотопич. классе. Вот пример вариационной задачи, сформулированной и получившей решение в когомологич. терминах. Пусть x - стабильно нетривиальное векторное расслоение на компактном римановом пространстве М ^п;пусть Х(x) - класс всех таких поверхностей , что ограничение x|_X. расслоения x на Xстабильно нетривиально (т. е. X - носитель x). Тогда всегда существует глобально минимальная поверхность , имеющая наименьший объем в классе Х(x). Общая теорема существования может быть сформулирована и доказана также и на языке интегральных потоков, для чего следует ввести фильтрованные потоки, состоящие из потоков различных размерностей. На этом пути было затем получено решение П. м. з. в классах гомотопий [14].

В сфере задач, окружающих П. м. з., выделяются исследования конкретных аналитич. и топологич. свойств глобально минимальных поверхностей. Напр., актуальна задача предъявления конкретных поверхностей в римановых пространствах. Так, напр., известно (см. [3]), что комплексные алгебраич. подмногообразия в и - глобально минимальные поверхности. Этот результат носит ярко выраженный комплексный характер. В случае вещественных подмногообразий долгое время отсутствовали какие-либо методики обнаружения конкретных глобально минимальных поверхностей. Первым результатом (см. [6]) в этом направлении, учитывающим их топологию, была методика, применение к-рой позволило доказать, что каждому компактному риманову пространству М ^п можно сопоставить универсальную функцию W_x(k), где - целое число, . Если Х ₀ - глобально минимальная поверхность, реализующая нетривиальный (ко)цикл в , то для любой точки . Если М= G/H - однородное пространство, то не зависит от точки х. Функция W_x(k).вычисляется в явном виде и дает общую оценку снизу на объемы всех k-мерных (ко)циклов в М ^п. Оценка эта в общем случае неулучшаема, т. е. существуют бесконечные серии глобально минимальных Х ₀, для к-рых . Для симметрич. пространств получено (см. [6], [13], [15]) полное описание всех таких поверхностей, для к-рых vol_kX₀= W(k). Разработаны (см. [11], [12], [14], [15]) дальнейшие методики получения конкретных глобально минимальных поверхностей. В различных задачах вариационного исчисления, топологии, алгебраич. геометрии, комплексного анализа возникает следующая ситуация: а) дано многообразие М ^п и его "исчерпание" re-мерными областями D_r, расширяющимися с ростом параметра r; б) в М ^п фиксирована глобально минимальная поверхность X^k;в) ставится вопрос: с какой скоростью растет , рассматриваемый как функция от r? К этому вопросу сводятся, напр., задачи о вычислении W_x(k), задачи о структуре базисов в пространствах целых функций, теоремы типа Штолля (см. [11]) и т. д. Оказывается (см. [6], [15]), существует универсальная точная эффективно вычислимая оценка снизу на скорость роста , из к-рой, как частные случаи, получаются явные формулы для vol_kX^k, где X^k - глобально минимальная поверхность. Напр., объем такой поверхности, заключенной в шаре и проходящей через центр шара (и имеющей границу на границе шара), всегда не меньше стандартного k- мерного шара B^k (плоского сечения), проходящего через центр В ⁿ (см. [13], [15]).

В особое направление выделилась П. м. з. "коразмерности один": рассматриваются глобально минимальные поверхности коразмерности 1 в Rⁿ. Так, напр., решена (см. [7]) проблема Бернштейна : пусть V^n-1- гладкое полное локально минимальное подмногообразие в Rⁿ, допускающее взаимно однозначную проекцию на нек-рую гиперплоскость, т. е. V^n-1 задается графиком функции f, определенной на R. ^п-1;верно ли, что f - линейная функция? При ответ положителен (см. [8]). Минимальность таких гиперповерхностей тесно связана с минимальностью конусов в : из существования локально минимальной поверхности следует, существование минимального конуса СМ ^n-2, т. е. поверхности, составленной из точек радиусов, идущих из точки в точки , где М ^n-2- локально минимальная поверхность в сфере S^n-1. Установлено (см. [8]), что если М ^n-2 - замкнутое локально минимальное подмногообразие (т. е. обращающее в нуль оператор Эйлера) в S^n-1, не являющееся акватором , то при конус СМ ^n-2 (с "снованием M^n-2 и вершиной в центре сферы) не минимизирует (n-1 )-мерный объем vol_n-1 (при фиксированной границе M^n-2), т. е. существует вариация (носитель к-рой сосредоточен около центра сферы), уменьшающая объем конуса. Отсюда и выводится линейность функции f при При ответ на вопрос отрицателен: существуют (см. [7] локально (и даже глобально) минимальные поверхности , задаваемые как графики нелинейных функций. Построение осуществляется явно; при этом обнаружилось, что конусы, задаваемые в уравнением

(*)

являются глобально минимальными поверхностями при фиксированной границе Эти конусы - частный случай конусов более общего вида, являющихся глобально минимальными поверхностями (см. [10]).

Развивается новое направление в П. м. з. - так наз. эквивариантные многомерные задачи Плато. Среди глобально минимальных поверхностей естественно выделен класс пленок, переходящих в себя при действии нек-рой группы симметрии (см. [9], [10]). Пусть G - компактная связная группа Ли, гладко действующая на М ^п изометриями и расслаивающая его на орбиты . Тогда для нахождения глобально минимальных поверхностей X^k в М ⁿ, инвариантных относительно G, достаточно перейти к факторпространству P=Mⁿ/G и снабдить Рримановой метрикой вида

где v=volG(x),a

(здесь через dimG(x).обозначена размерность орбиты общего положения в М ⁿ), -естественная метрика-проекция, возникающая на Рпри изометрич. действии

G. Для нахождения глобально минимальных поверхностей в Mⁿ, инвариантных относительно G, достаточно описать таковые в Mⁿ/G, снабженном метрикой dl_p (см. [9]), так что получается редукция П. м. з. на Mⁿ к П. м. з. на Mⁿ/Gменьшей размерности. Эта методика позволила получить серии конкретных глобально минимальных поверхностей, обладающих большими группами симметрии (см.[13]).

В частности, "конусы Саймонса", задаваемые уравнением (*), изображаются отрезком OD (см. рис. 2) на двумерном факторе

снабженном метрикой

и являющемся первым квадрантом Кна плоскости (см. [13]). Для нахождения глобально минимальной поверхности с границей

достаточно найти геодезические, идущие из Dна границу Ки имеющие наименьшую длину. На рис. 2 показан пучок геодезических, исходящих из точки D;этот пучок можно понимать как пучок световых лучей, распространяющихся из источника Dв прозрачной среде, заполняющей Кс показателем преломления ( ху)^2т-2.

При наряду с поверхностью OD существует еще одно минимальное решение меньшей длины, изображаемое геодезической OQ;. это означает, что конус Саймонса - не глобально минимальная поверхность. С ростом тточка Qстремится к О, и при существует единственная геодезическая, соединяющая Dс границей квадранта, т. е. конус Саймонса - глобально минимальная поверхность (см. [13]).

Лит.:[1] Morrey Ch., Multiple integrals in the calculus of variations, В., 1966; [2] ReifenbergE., "Acta Math.", 1960, t. 104 №1/2, p. 1-92; [3] Federer Н., Geometric measure theory, В., 1969; [4] Almgren В. J., "Ann. Math.", 19G8, v. 87. № 2, p. 321 - 91; [5] Фоменко А. Т., "Матем. сб.", 1972, т. 89, № 3, с.475 - 519; [6] его же, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1972, т. 36, № 5, с. 1049-79; [7] Воmbieri E., Dc Giorgi E., GiustiE., "Invent. Math.", 1969, v. 7, Case. 3, p. 243-268; [8] Simons J., "Ann. Math.", 1968, v. 88, № l,p. 62- 105; [9] Lawson H., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1972, v. 173, №446, p. 231-49; [10] Lawson H., Simons J., "Ann. Math.", 1973, v. 98, M 3, p. 427-50; [11] Фоменко А. Т., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1971, т. 35, № 3, с. 667-81; [12] Дао Чонг Тхи, там же, 1980, т. 44, № 5, с. 1031-65; [13] Фоменко А. Т., "Тр. Семинара по вект. и тенз. анализу...", 1974, в. 17, с. 3-176; 1978, в. 18, с. 4-93; [14] Дао Чонг Тхи, "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1978, т. 42, в. 3, с. 500-05; [15] Фоменко А. Т., там же, 1981, т. 45, № 1, с. 187-213.

А. Т. Фоменко.