Akademik

, линейное пространство, над полем К, - аддитивно записанная абелева группа Е, в которой определено умножение элементов на скаляры, т. е. отображение

удовлетворяющее следующим аксиомам

Из аксиом 1) - 4) вытекают следующие важные свойства векторного пространства :

Элементы В. п. наз. точками В. п., или векторами, а элементы поля К - скалярами.

Наибольшее применение в математике и приложениях имеют В. п. над полем комплексных чисел или над полем действительных чисел; они наз. соответственно комплексными В. п. или действительными В. п.

Аксиомы В. п. выявляют нек-рые алгебраич. свойства многих классов функций, часто встречающихся в анализе.

Из примеров В. п. самыми фундаментальными и наиболее ранними являются n-мерные евклидовы пространства. Почти столь же важными примерами являются многие функциональные пространства: пространство непрерывных функций, пространство измеримых функций, пространство суммируемых функций, пространство аналитич. функций, пространство функций ограниченной вариации.

Понятие В. п. есть частный случай понятия модуля над кольцом, а именно, В. н. есть унитарный модуль над полем. Унитарный модуль над некоммутативным телом также наз. векторным пространством над телом; теория таких В. п. во многом сложнее теории В. п. над полем.

Одной из важных задач, связанных с В. п., является изучение геометрии В. п., т. е. изучение прямых в В. п., плоских и выпуклых множеств в В. п., подпространств В. п. и базисов в В. п.

Векторным подпространством, или просто подпространством, В. п. Енад полем А' наз. подмножество , замкнутое относительно действий сложения и умножения на скаляр. Подпространство, рассматриваемое отдельно от вмещающего его пространства, есть В. п. над тем же полем.

Прямой линией, проходящей через две точки хи уВ. п. Е, наз. множество элементов вида Множество наз. плоским множеством, если вместе с любыми двумя точками оно содержит прямую, проходящую через эти точки. Каждое плоское множество получается из нек-рого подпространства с помощью сдвига (параллельного переноса): ; это означает, что каждый элемент представим единственным образом в виде причем это равенство осуществляет взаимно однозначное соответствие между Fи G.

Совокупность всех сдвигов данного подпространства образует В. п. над К, наз. фактор-пространством , если определить операции следующим образом:

Пусть - произвольное множество векторов из Е;линейной комбинацией векторов наз. вектор х, определенный формулой

в к-рой лишь конечное число коэффициентов отлично от нуля. Совокупность всех линейных комбинаций векторов данного множества Мявляется наименьшим подпространством, содержащим М, и наз. линейной оболочкой множества М. Линейная комбинация наз. тривиальной, если все коэффициенты равны нулю. Множество Мназ. линейно независимым множеством, если все нетривиальные линейные комбинации векторов из Мотличны от нуля.

Любое линейно независимое множество содержится в нек-ром максимальном линейно независимом множестве , т. е. в таком множестве, к-рое перестает быть линейно независимым после присоединения к нему любого элемента из Е.

Каждый элемент может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации элементов максимального линейно независимого множества:

В связи с этим максимальное линейно независимое множество наз. базисом В. п. (алгебраическим базисом). Все базисы данного В. п. имеют одинаковую мощность, к-рая наз. размерностью В. п. Если эта мощность конечна, пространство наз. конечномерным В. п.; в противном случае оно наз. бесконечномерным В. п.

Поле Кможно рассматривать как одномерное В. п. над полем К;базис этого В. п. состоит из одного элемента; им может быть любой элемент, отличный от нуля. Конечномерное В. п. с базисом из пэлементов наз. n-мерным пространством.

В теории действительных и комплексных В. п. важную роль играет теория выпуклых множеств. Множество Мв действительном В. п. наз. выпуклым множеством, если вместе с любыми двумя его точками х, у отрезок также принадлежит М.

Большое место в теории В. п. занимает теория линейных функционалов на В. п. и связанная с этим теория двойственности. Пусть Еесть В. п. над полем К. Линейным функционалом на Еназ. аддитивное и однородное отображение

Множество всех линейных функционалов на Еобразует В. п. над полем Котносительно операций

Это В. п. наз. сопряженным (или двойственным) пространством (к Е). С понятием сопряженного пространства связан ряд геометрич. терминов. Пусть (соответственно ); аннулятором множества D, или ортогональным дополнением множества D (соответственно множества Г) наз. множество

(соответственно

здесь п - подпространства соответственно пространств Если f - ненулевой элемент из , то есть максимальное собственное линейное подпространство в Е, наз. иногда гиперподпространством; сдвиг такого подпространства наз. гиперплоскостьюв Е;всякая гиперплоскость имеет вид

Если F ~ подпространство В. п. Е, то существуют естественные изоморфизмы между и

Подмножество наз. тотальным подмножеством над Е, если его аннулятор содержит лишь нулевой элемент:

Каждому линейно независимому множеству можно сопоставить сопряженное множество , т. е. такое множество, что ( Кронекера символ).для всех Множество пар наз. при этом биортогональной системой. Если множество есть базис в Е, то тотально над .

Значительное место в теории В. п. занимает теория линейных преобразований В. п. Пусть Е ₁, Е ₂ - два В. п. над одним и тем же полем К. Линейным отображением, или линейным оператором, Т, отображающим В. п. E₁ в В. п. Е ₂ (или линейным оператором из E₁ в E₂), наз. аддитивное и однородное отображение пространства Е ₁ в Е ₂:

Частным случаем этого понятия является линейный функционал, или линейный оператор из Е ₁ в K.

Линейным отображением является, напр., естественное отображение В. п. E на факторпространство , сопоставляющее каждому элементу плоское множество . Совокупность всех линейных операторов образует В. п. относительно операций

Два В. п. Е ₁ и E₂ наз. изоморфными В. п., если существует линейный оператор ("изоморфизм"), осуществляющий взаимно однозначное соответствие между их элементами. Е ₁ и E₂ изоморфны тогда и только тогда, когда их базисы имеют одинаковую мощность.

Пусть Т - линейный оператор, отображающий Е ₁ в Е ₂. Сопряженным линейным оператором, или двойственным линейным оператором, по отношению к Т, наз. линейный оператор определенный равенством

Имеют место соотношения откуда следует, что является изоморфизмом тогда и только тогда, когда Тявляется изоморфизмом.

С теорией линейных отображений В. п. тесно связана теория билинейных отображений и полилинейных отображений В. п.

Важную группу задач теории В. п. образуют задачи продолжения линейных отображений. Пусть F - подпространство В. п. - линейное пространство вад тем же полем, что и Е ₁ и пусть - линейное отображение требуется найти продолжение Тотображения Т ₀, определенное на всем Е ₁ и являющееся линейным отображением Е ₁ в Е ₂ . Такое продолжение всегда существует, но дополнительные ограничения на функции (связанные с дополнительными структурами в В. п., напр., топологией или отношением порядка) могут сделать задачу неразрешимой. Примерами решения задачи продолжения являются Хана- Банаха теорема и теоремы о продолжении положительных функционалов в пространствах с конусом.

Важным разделом теории В. п. является теория операций над В. п., т. е. способов построения новых В. п. по известным. Примеры таких операций - известные операции взятия подпространства и образования фак-торпространства по подпространству. Другие важные операции - построение прямой суммы, прямого произведения и тензорного произведения В. п.

Пусть - семейство В. п. над полем К. Множество Е - произведение множеств - можно превратить в В. п. над полем К, введя операции

полученное В. п. Еназ. прямым произведением В. п. и обозначается . Подпространство В. п. Е, состоящее из всех тех наборов , для каждого из к-рых множество конечно, наз. прямой суммой В. п. и обозначается или ; для конечного числа слагаемых эти определения совпадают; в этом случае используются обозначения:

Пусть - два В. п. над полем - тотальные подпространства В. п. - В. п., имеющее своим базисом совокупность всех элементов пространства Каждому элементу сопоставляется билинейная функция на по формуле Это отображение базисных векторов можно продолжить до линейного отображения Г В. п. в В. п. всех билинейных функционалов на Пусть . Тензорным произведением В. п. Е ₁ и Е ₂ наз. факторпространство образ элемента обозначается . В. п. изоморфно В. п. билинейных функционалов на (см. Тензорное произведение векторных пространств). Наиболее содержательной частью теории В. п. является теория конечномерных В. п. Но и понятие бесконечномерного В. п. часто оказывается плодотворным и имеет интересные приложения, особенно в теории топологических векторных пространств, т. е. В. п., наделенных топологией, определенным образом согласованной с его алгебраич. структурой.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962; [2] Райков Д. А., Векторные пространства, М., 1962; [3] Дай М. М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961; [41 Эдварде Р., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1969; [5] Халмош П., Конечномерные векторные пространства, пер. с англ., M., 19fiS; [61 Глазман И. М., Любич Ю. И., Конечномерный линейный анализ в задачах, М., 1969. М. И. Кадец.