Akademik

нелинейные операторы в полуупорядоченных пространствах, являющиеся аналогами вогнутых и выпуклых функций действительного переменного.

Нелинейный оператор А, положительный на конусе Кв банаховом пространстве, наз. вогнутым (точнее, u₀ - вогнутым на К), если:

1) для каждого ненулевого выполнены неравенства

где - нек-рый фиксированный ненулевой элемент из - положительные скалярные функции; 2) для каждого такого что

справедливы соотношения

где

Аналогично, оператор А паз. выпуклым (точнее, и ₀ -выпуклым на К), если выполнены условия 1) и 2), но неравенство (*) заменено противоположным, и функция

Типичным примером является интегральный оператор Урысона

вогнутость и выпуклость к-рого обеспечивается соответственно вогнутостью и выпуклостью скалярной функции по переменному и. Вогнутость оператора означает, что он содержит лишь "слабые" нелинейности - значения оператора на элементах конуса растут "медленно" при росте норм элементов. Выпуклость же оператора означает, как правило, что он содержит "сильные" нелинейности. В соответствии с этим уравнения с вогнутыми операторами и уравнения с выпуклыми операторами обладают рядом различий; так, первые близки по своим свойствам к соответствующим скалярным уравнениям, для вторых же такой близости нет: напр., для них, как правило, неверна теорема о единственности положительного решения.

Лит.:[1] Красносельский М. А., Геометрические методы нелинейного анализа, М., 1975.

М. И. Войцеховский.