Akademik

        отображение результатов мышления в точных понятиях или утверждениях. В этом смысле Ф. противопоставляется содержательному или интуитивному мышлению. В математике и формальной логике, где Ф. наиболее развита, под Ф. обычно понимают отображение содержат. знания в знаковом формализме, или формализованном языке. Непременным условием для построения такого языка является использование аксиоматич. метода, благодаря крому удаётся получить все утверждения теории из небольшого числа принимаемых без доказательства утверждений, или аксиом. Полная Ф. теории достигается лишь тогда, когда отвлекаются от содержат. смысла самих исходных понятий и аксиом теории и полностью перечисляют правила логич. вывода теорем из аксиом. Использование аксиоматич. метода в процессе Ф. обеспечивает такую систематизацию знания, при которой его отд. элементы не просто координируют друг с другом, а находятся в отношении субординации (см. Ф. Энгельс, в кн.: Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., т. 20, с. 538). Поиски аксиом, из которых можно чисто логич. путём вывести следствия, или теоремы, составляют одну из важнейших задач Ф.

        Ф. доказательства даёт возможность освободиться от обращения к интуитивным представлениям, что имеет решающее значение для строгости вывода. Представление доказательства в виде последовательности формул, каждая из которых является либо аксиомой, либо получается из аксиом по правилам вывода, превращает сам процесс проверки доказательства в чисто механич. процедуру и может быть передан вычислит. машине. Доказательство глубоко связано с вычислением, вместе с крым его можно представить как непосредственное (хотя и абстрактное) материальное созерцание (см. там же, с. 631).

        Ф. играет существ. роль в анализе, уточнении и экспликации науч. понятий. Интуитивные понятия, хотя и кажутся более ясными с т. зр. обыденного сознания, однако в силу их неопределённости и неоднозначности они мало пригодны для науки. В науч. познании нередко нельзя не только разрешить, но даже сформулировать и поставить проблемы до тех пор, пока не будут разъяснены и уточнены относящиеся к ним понятия. Так, понятие алгоритма издавна применялось в математике, но только после того, как оно получило точное и строгое определение в 1930-х гг., стало возможным доказательство существования алгоритмически неразрешимых проблем.

        Ф. неразрывно связана с построением искусственных, или формализованных, науч. языков. Такие языки создаются для точного выражения мыслей с целью исключить возможность неоднозначного понимания. Ф. даёт возможность строить науч. языки с точно установленной структурой и заданными правилами преобразования одних выражений в другие.

        Полученные с помощью методов Ф. результаты имеют важное филос. значение прежде всего для решения проблемы соотношения формальных и содержат. компонентов в науч. познании. Исследования по разрешимости формализованных математич. теорий, начало которым положил Чёрч доказательством отсутствия разрешающей процедуры для узкого исчисления предикатов, подорвали веру в принципы чисто формального обоснования математики, выдвинутые Гильбертом. Еще более существ. значение имели результаты Гёделя о неполноте формализованной арифметики, теоремы Тар-ского о неформализуемости понятия истины в рамках формализмов и др. Эти исследования показали ограниченность неопозитивистской программы анализа науки, исходящей из примата формы над содержанием и сводящей все проблемы философии науки к анализу структуры науч. языка.

        Диалектич. материализм рассматривает Ф. как средство выявления и уточнения содержания науч. знания. Подчёркивая обусловленность методов Ф. содержанием науч. знания, диалектикоматериалистич. концепция признаёт значит. роль формы и формальных компонентов в раскрытии этого содержания. Вместе с тем никакая Ф. не может исчерпать всего богатства содержания, она способна лишь приближаться к этому пределу в бесконечном процессе науч. познания.

        К лини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Яновская С. А., Методологии, проблемы науки, М., 1972; Кураев В. И., Диалектика содержательного и формального в науч. познании, М., 1977; Манин Ю.И., Доказуемое и недоказуемое, М., 1979; Want; Н., Logic, computers and sets, ?. ?., 197U, eh. 3, p. 57—67.

представление к.-л. содержательной области (рассуждений, доказательств, процедур классификации, поиска информации науч. теорий) в виде формальной системы, или исчисления. Ф., осуществляемая на базе определенных абстракций, идеализации и искусств, символич. языков, используется прежде всего в математике, а также в тех науках, в к-рых применение математич. аппарата достигает достаточной для этой цели степени зрелости. Ф. предполагает усиление роли формальной логики как основания теоретич. наук, поскольку в случае формализованных теорий уже нельзя удовлетворяться интуитивным убеждением, что та или иная аргументация согласуется с логич. правилами, усвоенными благодаря так или иначе приобретенной способности к правильному мышлению. Вместе с тем Ф. связана с трудностями и ограничениями принципиального характера. Ф. осуществляется в определ. границах и на каждом ее этапе остается нек-рый неформализованный "остаток". Полностью могут быть формализованы лишь элементарные теории с простой логич. структурой и небольшим запасом понятий (напр., исчисление высказываний и узкое исчисление предикатов – в логике, элементарная геометрия – в математике). Если же теория сложна, она принципиально не может быть полностью формализована (см. подробно об этом в ст. Полнота, Метатеория). При этом, правда, не исключается возможность построения более широкого исчисления, формализующего часть того, что не было выявлено ранее. Но и в этом случае обнаруживается нек-рый новый неформализованный остаток – новые формально недоказуемые, но содержательно истинные высказывания. Как отмечала Яновская, в таком постоянно снимаемом и вместе с тем вновь возникающем несоответствии между Ф. и формализуемым содержанием можно усмотреть диалектич. противоречие – внутренний источник развития как самой науки, так и ее логич. средств. Трудности, связанные с невозможностью полностью формализовать ту или иную конкретную область, практически ослабляются на пути изыскания способов формализации нек-рых ее подобластей, к-рые могут как раз включать в себя все основные или интересующие нас предложения этой области. Такой путь тем более значим, что, по существу, метод Ф. призван дополнять содержательный семантич. анализ в науках. При этом, конечно, нисколько не снижается важная в методологическом и эвристич. отношении логико-матем. работа по созданию "...готового для употребления запаса формальных систем, из которого для любой теории можно было бы выбрать систему, правильно представляющую результаты опыта" (цит. по кн.: Гейтинг Α., Интуиционизм, М., 1965, с. 18). Др. путь – построение полуформализованных систем, в частности за счет допущения инфинитных правил вывода.

Ф. позволяет систематизировать, уточнить и методологически прояснить содержание теории, выяснить характер взаимосвязи между собой различных ее положений, выявить и сформулировать еще не решенные проблемы. А такие проблемы всегда есть, ибо Ф. не означает законченности теории или же прекращения ее развития. Вместе с тем выигрыш в точности и методологич. правильности при Ф. обычно сопровождается проигрышем в непосредств. интуитивной ясности и краткости изложения, поскольку построение теории в форме исчисления предполагает скрупулезное выявление всех ее предпосылок и осуществление полного доказательства ее положений. Значение Ф. для совр. науки существенно определяется проектами "кибернетизации" знания – поиском перехода к машинным методам решения науч. проблем, ранее составляющим прерогативу чисто человеч. интеллектуальной деятельности. Метод формализации призван сыграть здесь важную роль, а именно – обеспечить те приемы, следуя к-рым машины смогут получать новые результаты, перебирая и выбирая такие варианты, к-рые не может перебрать и не привык выбирать человек.

Исторически Ф. возникла вместе с возникновением мышления и языка; важный шаг в развитии Ф. был связан с появлением письменности; в дальнейшем, по мере развития науки, особенно математики, к естеств. языкам стали добавляться знаки специального характера – элементы математической, химич. и др. символики. Крупным шагом в развитии способов Ф. было создание в математике Нового времени буквенных исчислений (аналитич. геометрия, матем. анализ и др.). С др. стороны, вместе с формальной логикой возник прием л о г и ч е с к о й Ф., состоящий в выявлении и фиксации, тем или иным способом, логич. формы выводов и доказательств. Развитие гносеологич. приема Ф. объясняет распространение в соврем, науке более узкого понимания Ф. как такого уточнения изучаемого содержания, к-рое, с одной стороны, делает возможным применение к нему математических (или подобных математическим, напр. формально-логических) средств, а с др. стороны, само совершается с применением таких средств (в этом смысле говорят, что в теории игр формализуются конфликтные ситуации, имеющие место в экономике, военном деле и т.п.; что матем. теория планирования эксперимента предполагает предварительную Ф. понятий, с помощью к-рых описываются экспериментальные процедуры, и т.п.).

Ф. как познавательный прием – в частности Ф. в узком "математическом" смысле – носит относительный характер: одна и та же теория может быть одновременно и с р е д с т в о м Ф. (нек-рой др. теории и области явлений), и предметом Ф. (в более "формальной" теории). Так, традиционная "формальная" логика является Ф. по отношению к совокупности отраженных в ней закономерностей человеч. мышления; по отношению же к своим (аксиоматическим) Ф. она выступает в качестве содержательной теории – предмета формализации. См. также ст. Исчисление, Метод аксиоматический, Логика высказываний, Предикатов исчисления.

Лит.: Τарский Α., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, § 15; Черч Α., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., I960, введение; Ван Xао, На пути к механической математике, в кн.: Кибернетический сборник, 5, М., 1962; Филос. вопросы совр. формальной логики, М., 1962; Curry Η. В., Feys R., Combinatory logic, v. 1, Amst., 1958; Wang Hao, A survey of mathematical logic, Peking, 1962.

    ФОРМАЛИЗАЦИЯ — отображение содержательного знания в формализованной теории (исчислении). Формализуемое знание должно представлять собой каким-то образом фиксированную совокупность утверждений. Для определенности уместно говорить о формализации некоторой содержательной теории Т. Под теорией в данном случае имеется в виду замкнутая относительно всех своих логических следствий совокупность утверждений, относящихся к соответствующей предметной области. Это означает, что все следствия, которые можно получить в Гв рамках корректных рассуждений, также относятся к теории Т. Возможности формализации теории Т за счет построения соответствующего исчисления (формализованной теории) ФГ, а также взаимоотношения между Г и ФГ, если такую возможность удается некоторым образом реализовать, зависят от ряда обстоятельств. Обычно принципиальную возможность формализации содержательной теории Г связывают с тем, насколько эта теория Г подготовлена к данной операции. Речь идет о ее развитости, достаточной степени эксплицированности ее понятийного аппарата. Возможность формализации существенно возрастает при разрешимости теории, т. е. при существовании процедуры, позволяющей относительно любого сформулированного в языке теории предложения решать, принадлежит оно к теории или нет. Все это важно, но главное, что открывает принципиальную возможность формализации содержательной теории Г,— это выразительные возможности символического языка, с помощью которого предполагается отобразить Т.

    Вообще говоря, язык исчисления предикатов позволяет записать в символической форме любое обычное или научное предложение. Для этого достаточно дополнить этот язык символами (константами) используемых в предложении предикатов и, может быть, еще так называемыми функциональными константами, о чем для простоты можно не говорить. Однако иметь возможность осуществить символическую запись любого предложения теории Готнюдь не значит ее формализовать. Для признания того, что ФГформализует Т, необходимыми являются, по крайней мере, следующие три условия: (1) Язык L исчисления, используемого для формализации, должен давать возможность выразить любое предложение А теории Т с помощью некоторой формулы ФТ, которая при содержательной ее интерпретации порождает предложение, которое приемлемо трактовать как выражающее ту же мысль, что и А

    (2) Исходные постулаты (аксиомы) ФГпри получении из них теорем должны рассматриваться как цепочки бессодержательных символов, из которых по фиксированным правилам вывода получаются новые цепочки символов (теоремы). Иначе говоря, процесс получения теорем не должен осуществляться на основании очевидности, подтверждаемости практикой и т. п.

    (3) Между классом теорем ФТк классом содержательно истинных утверждений теории Г должно быть определенное оговоренное отношение, позволяющее ФТ считать формализацией Г (точнее об этом ниже).

    Пункт (2) существенным образом отличает ФГот Г. В Г не обязательно есть фиксированные правила вывода, и для получения новых утверждений можно опираться на содержательный смысл терминов и имеющийся контекст. Если, напр., в Гсодержится утверждение, что событие α произошло раньше события β, то мы обязаны по содержательным основаниям относить к верным утверждениям теории Гтакже и то, что β произошло позже а. Вместе с тем мы не обязаны фиксировать это. Иначе в ФТ. Здесь логические связи между отношениями раньше и позже должны быть явным образом отображены. И если указанные отношения обозначаются как “” и “>” соответственно, то ФГдолжна содержать правило, позволяющее переходить от (αβ) κ (β>α). Очевидно, в ФТ придется указать также на транзитивность указанных отношений. Кратко говоря, в ФГпридется отобразить логику данных отношений, необходимую для описания соответствующей предметной области. При этом сама эта логика может зависеть от того, напр., будет ли считаться время непрерывным или дискретным, бесконечно или конечно делимым, даже если в Г эти вопросы не обсуждаются. Т. о., формализация состоит не просто в том, чтобы осуществить запись Гв некотором символическом языке, но в том, чтобы выявить и отобразить при этом логику, которой будут удовлетворять высказывания с теми терминами, которые фигурируют в Т. Решение такой проблемы является профессиональной задачей логики вообще и может исследоваться независимо от тех или иных конкретно взятых содержательных теорий и задач, связанных с их формализацией. Так, напр., в логике формализуются теории алогических, эпистемических, деонтических, временных и другие модальностей, полные относительно некоторых содержательных семантик. Вопрос о возможности формализации теории Гесть поэтому не только вопрос о готовности к этой процедуре со стороны Г, но и о том, в достаточной ли степени разработан для этой цели имеющийся логический и математический аппарат.

    В связи с пунктом (3) надо иметь в виду, что ФГв явном виде содержит всю необходимую для формализации теории Глогику и математику и соответствующий им класс правил или содержательно интерпретируемых теорем, напр., закон контрапозиции импликации: (Α-ϊΒ)—>(-ιΒ-*-τΑ) и т. п., которым фактически нет соответствия в Т. Кроме того, Т обычно не детерминирует всех логических взаимоотношений высказы

    ваний, содержащих используемую в ^терминологию. Поэтому ФТ практически всегда задает ту или иную экспликацию этой терминологии. Если даже отвлечься от возможности использования в ФГразличных базовых логик и математик, то уже только оправданные содержанием Г логические различия в экспликациях терминологии позволяют построить для одной и той же содержательной теории Г множество альтернативных формализации. При этом теория Гв зависимости от того, какая конкретная формализация будет сочтена адекватной, будет в той или иной степени менять свой смысл. Дело логика указать, чем отличаются возможные альтернативы, но не в его компетенции считать какую-то из них более предпочтительной, не говоря уже более верной. Чтобы иметь возможность содержательного обсуждения теории ФТ, в частности, говорить о ее непротиворечивости, полноте, доказуемости или недоказуемости в ней теорем определенного рода, используется т. н. метаязык (в отличие от языка, на котором сформулирована ФТ), и все верные утверждения такого рода относят к метатеории МФТ.

    Проблему формализации содержательной теории Гв ФГможно считать решенной, если в рамках метатеории .МФГудается показать, что каждому истинному в принятой интерпретации предложению Т соответствует доказуемое утверждение Φ Γ (теорема полноты), и наоборот (теорема адекватности). В силу разных причин такого положения не всегда удается добиться. Об этом говорит, в частности, известная теорема К. Геделя (1931) о неполноте непротиворечивой формализованной арифметики. Дело в том, что некоторая формализуемая теория Гможет содержать столь богатый выразительными возможностями язык, что в ее рамках могут строится утверждения о формализующей ее системе ФГи, значит, отображаться в последней. Происходит т. н. замыкание языка и метаязыка. Любая непротиворечивая формализация теории Т оказывается принципиально неполной, так как любое изменение ФГпорождает класс новых содержательно истинных в МФТтл в самой Гпредложений. Именно такого рода теорией Гоказывается содержательная арифметика. В объектном языке формализующей эту арифметику теории ФТ можно строить утверждения о самой этой теории, которые при содержательной интерпретации становятся истинными предложениями теории Т. В ФГвоспроизводится, в частности, некоторая форма парадокса лжеца (см. Парадокс логический), т. к. всегда находится формула, утверждающая свою собственную недоказуемость в ФТ. Такая формула содержательно истинна именно потому, что в ФТ недоказуема. Ее истинность в Г и при этом недоказуемость в ФГговорит о неполноте последней. Теорема Геделя не исключает возможности полной формализации более узких фрагментов математики. Теореме Геделя о неполноте не следует придавать преувеличенного, во всяком случае универсального философского значения и распространять ее следствия на теории, при формализации которых принципиально отсутствуют и не могут возникнуть рассмотренные выше причины, препятствующие полной формализации всех истинных предложений содержательной математики. Лит.: КаиниС. К. Введение в метаматематику. М., 1957.

    Ε. А. Сидоренко