Akademik

        познават. операция, лежащая в основе суждений о сходстве или различии объектов; с помощью С. выявляются количеств. и качеств. характеристики предметов, классифицируется, упорядочивается и оценивается содержание бытия и познания. Сравнить — это сопоставить «одно» с «другим» с целью выявить их возможные отношения; посредством С. мир постигается как «связное разнообразие». При этом существенны условия, или основания, С.— признаки, которые детерминируют возможные отношения между предметами. В естеств. языках акт С. получает выражение в сравнит. степенях прилагательных и наречий, а в логич. языках — в предикатах порядка.

        С. имеет смысл только в совокупности «однородных» предметов, образующих класс. С. предметов в классе (tertium comparationis) осуществляется по признакам, существенным для данного рассмотрения, при этом предметы, сравнимые по одному признаку, могут быть несравнимы по другому.

        Простейший и важнейший тип отношений, выявляемых путём С.,— ато отношения тождества (равенства) и различия. С. по этим отношениям в свою очередь приводит к представлению об универсальной сравнимости, т. е. о возможности всегда ответить на вопрос, тождественны предметы или различны. Предметы наглядного опыта сравнимы всегда, но условие наглядности (наблюдаемости) существенно ограничивает теорию. Именно в теории типичны случаи, когда наглядное С. предметов невозможно и для их С. приходится прибегать к рассуждениям и, следовательно, к тем или иным абстракциям, на которых эти рассуждения основаны. Поэтому предположение об универсальной сравнимости иногда называют абстракцией сравнимости. Последняя, как правило, является нетривиальной гипотезой, принимаемой в рамках (и на основе) главных принципов теории.

        Новоселов M. M., О некоторых понятиях теории отношений, в кн.: Кибернетика и совр. науч. познание М.. 1976.

познавательная операция (логич. рефлексия – И. Кант), посредством к-рой на основе нек-рого фиксир. признака – основания С. (см. Отношение) – устанавливается то ж д е с т в о (равенство) или р а з л и ч и е объектов (вещей, состояний, свойств и пр.) путем их попарного сопоставления. Операция С. имеет смысл лишь для тех объектов, "...между которыми есть хоть какое-нибудь сходство" (Юм Д., Соч., т. 1, М., 1965, с. 103), т.е. определяется в совокупности однородных в к.-л. смысле объектов – таких, к-рые образуют множество. Признаки (предикаты), определяемые на этом множестве, служат "естественными" основаниями С.

Как познавательный акт С. следует отличать от его логич. формы, к-рая является общей как для элементарных (одноактных), так и для сложных (многоактных) процедур С.: в любом случае имеют место только две возможности – сравниваемые объекты а и b тождественны (по данному основанию) или же они различны (по тому же основанию). Если основания различия таковы, что отношение различия может рассматриваться как порядковое, то операция С. сводится к рассмотрению отношений а=b, аb, являющихся исходными (основными) отношениями С. Неявное определение этих отношений дается аксиомами равенства (см. Равенствов логике и математике) и порядка, а их взаимная связь выражается т.н. аксиомой трихотомии: а=b или ab. Все вместе они дают систему постулатов С., при этом свойства входящих в эти постулаты понятий "=", "" и ">" не зависят, конечно, от "количественного" смысла, к-рый этим понятиям обычно приписывается; речь идет о порядковых свойствах нек-рого общего класса отношений (порядка отношений в широком смысле; таковы не только количественные, но и качественные отношения порядка, напр. по признаку красоты, ловкости, ума и пр.), из к-рых предметом матем. анализа становятся лишь те, для к-рых удается установить более или менее строгие методы С.

В любой матем. теории непременным условием рассмотрения матем. объектов является предположение об их сравнимости. Это приводит к тому, что естественно назвать а б с т р а к ц и е й сравнимости. На этой абстракции основывается, напр., утверждение, к-рое является фундаментальным в канторовской концепции множества, что любые два элемента произвольного множества различимы между собой. На этой же абстракции основано С. самих множеств. Мы говорим "абстракция сравнимости" потому, что задача С. в общем случае является отнюдь не тривиальной, иногда даже просто неразрешимой: "Пусть А – множество всех четных чисел, больших 4, а В – множество всех чисел, являющихся суммами двух простых нечетных чисел. Мы до сих пор не знаем, какое из соотношений справедливо: А = В или А ≠ В, и не знаем даже, как подойти к решению этого вопроса" (Серпинский В., О теории множеств, пер. с польского, М., 1966, с. 6; о принципиально неразрешимых задачах С. см., напр., в ст. Тождества проблемы). По замечанию Юма, "мы можем производить... сравнение или когда оба объекта воспринимаются чувствами, или когда ни один из них не воспринимается или когда налицо только один из них" (Соч., т. 1, М., 1965, с. 169). Несовпадение этих видов С. проявляется уже в том факте, что в обоих последних случаях р а з л и ч и е приходится рассматривать как отрицание т о ж д е с т в а, тогда как в первом случае акт различения имеет и самостоятельное значение и рассматривается как самостоятельная операция (на нем, собственно, основывается идея математики без отрицания – см. Положительная логика). Очевидно, что С. на уровне чувств. восприятия не требует никаких абстракций. Наглядность придает понятию С. "физич. смысл", но условие наглядности С. стеснительно для теории. Именно в теории, особенно в математике, типичны случаи (как в приведенном выше примере с множествами А и В), когда наглядное сопоставление объектов невозможно (это зависит, вообще говоря, от условий задания объектов) и, значит, приходится прибегать к рассуждению и, соответственно, к тем или иным абстракциям, на к-рых мы свои рассуждения основываем. Напр., рассуждение о сравнимости множества А1 всех нечетных чисел, больших 7, и множества В1 всех чисел, являющихся суммами трех нечетных простых чисел, мы основываем на абстракции потенциальной осуществимости, поскольку "...мы знаем метод, дающий возможность путем выполнения определенных, указанных этих методом вычислений, решить, какое из соотношений Α1 ≠ Β1 или Α1 = Β1 верно...", хотя число этих вычислений "...так велико, что ни одна существующая электронная вычислительная машина не была бы в состоянии их выполнить" (Серпинский В., О теории множеств, с. 7). Основываясь на принципе исключенного третьего, мы можем считать сравнимыми и множества А и В из первого примера, но в этом случае абстракция сравнимости будет зависеть уже от абстракции актуальной бесконечности. Иначе говоря, абстракция сравнимости является нетривиальным допущением в рамках др. матем. абстракций.

"Практически осуществимая" операция С. не должна зависеть от к.-л. абстракций бесконечности и осуществимости. Так, принимая в рамках абстракции актуальной бесконечности, что два положительных иррациональных числа равны, если все соответственные десятичные знаки их десятичных приближений одинаковы, мы вполне отдаем себе отчет в том, что на практике никогда не удается решить вопрос о равенстве чисел в указанном смысле в виду принципиальной невозможности довести бесконечный процесс С. до конца. Основание С. при таком "платонистском" определении равенства "замешано" в бесконечном процессе. На практике, ограничиваясь приближенными вычислениями, приходится исключать такие "бесконечные основания" С. путем перехода к равенству в нек-ром интервале абстракции – прагматическому (или условному) равенству (о понятии "интервал абстракции" и связанному с ним понятию условного равенства см. в ст. Принцип абстракции, Тождество). Приходится, напр., отождествлять иррациональное число с его десятичным приближением, полагая в общем случае зависимость равенства веществ. чисел от условий взаимозаменимости их десятичных приближений, когда использование (подстановка) одного из них вместо другого не нарушает заданный интервал абстракции (к примеру, обеспечивает требуемую практич. задачей степень точности). Бесконечный процесс С. заменяется здесь конечным приемом подстановки и экспериментальной проверкой ее результатов.

Лит.: Шатуновский С.О., Введение в анализ, Одесса, 1923, § 6 и 7; Арнольд И. В., Теоретическая арифметика, М., 1938, гл. 3.

    СРАВНЕНИЕ — акт мышления (“логическая рефлексия”, по И. Канту), посредством которого на основе фиксированной установки оценивается, упорядочивается и классифицируется содержание познания. Онтологической предпосылкой сравнения являются реальное сходство и различие объектов познания, их признаки и отношения между ними. Гносеологической предпосылкой сравнения является априорная установка на тот или иной результат, заданная основанием сравнения. В его элементарном виде сравнение “есть умственное сближение реальных фактов... Насколько сближаемые факты совпадают, сближение их сопровождается чувством тождества или сходства. Напротив, насколько они не совпадают, сближение их сопровождается чувством разности или несходства” (Троицкий М. Наука о духе. Общие свойства и законы человеческого духа, т. 2. M., 1882, с. 142).

    Т. о., в первом приближении посредством сравнения мир постигается как связное разнообразие при условии что самый акт сравнения имеет смысл лишь для тех объектов “между которыми есть хоть какое-нибудь сходство” {Юм Д. Соч., т. 1. M., 1965” с. 103), т. е. в совокупности однородных предметов, образующих класс (множество). Сравнимость предметов в классе (tertium comparationis) осуществляется по признакам, определенным на этом классе и существенным для данного рассмотрения. При этом элементы класса, сравнимые по одному основанию, могут быть несравнимы по другому. К примеру, по основанию “жить на одной планете” пока сравнимы все люди, а по основанию “быть предком по прямой линии” несравнимы даже многие близкие родственники. Важнейший тип отношений, выявляемых путем сравнения, — это отношения тождества и различия. Сравнение по объединению этих отношений порождает мысль об универсальной сравнимости, о возможности всегда ответить на вопрос “тождественны или различны?”. Предметы восприятия, чувственного опыта в этом смысле сравнимы всегда, но абстрактные объекты не всегда сравнимы по данному основанию, поскольку различие определяется здесь не напрямую свидетельством чувств, а является результатом логической рефлексии (как логическое отрицание тождества). В этом случае, если проблема сравнения по основанию “тождественно или различно” является массовой проблемой (зависит от параметра, как это бывает обычно в математике), она не только нетривиальна, но и далеко не всегда разрешима (см. Разрешенная проблема). Отвлекаясь от принципиальной невозможности в ряде случаев решить проблему сравнения или же от временной ее нерешенности, естественно ввести понятие об “абстракции сравнимости” (см.: Lawrev F., Novoselov M. Methodological analysis of comparison operation in physics and mathematics.— LMPS'71, Abstracts. Bucarest, 1971) как нетривиальном допущении в рамках других, более сильных теоретических абстракций.

    Если основание сравнения является частичным порядком, то сравнение сводится к рассмотрению отношений а •= Ь, а > Ь, а Ь, определение которых дается аксиомами равенства и порядка, а их взаимная связь выражается т. н. аксиомой трихотомии: а = Ь или а > Ь или а Ь. Совместно они представляют систему постулатов сравнения (см.: Шатуновекш С. О. Введение в анализ. Одесса, 1923, § 6 и 7) или, иначе, логику сравнения. При этом порядок может быть качественным или дополняться количественной оценкой, как в случае измерения ”ли когда сравнение используется в практике экспертных оценок. Вообще степень присущности признака предмету может подлежать количественной оценке, а может и не подлежать, что обычно зависит от данного признака или задачи сравнения. Но в любом случае указанная выше логика сравнения не зависит от этого условия.

    Сравнение по отношениям порядка естественно связано с иерархическими классификациями (см. Классификация), сравнение по свойствам — с классификациями иного рода, с т. н. разбиениями на “классы абстракции” (эквивалентности, равенства). Последние имеют место и в том случае, когда сходство объектов по свойству совпадает с отношением равенства, что бывает, однако, не всегда. Для нечетких свойств, таких, напр., как неразличимость (см. Абстракция неразличимости), сходство является более широким отношением, чем равенство. Сравнение по нечетким свойствам приводит и к нечетким делениям на классы, называемым “классами толерантности”.

    В методологии науки операция сравнения используется и независимо от ее экзистенциальных предпосылок. При этом она настолько встроена в систему научных методов, что Э. Мах считал ее важнейшей операцией, которой создается наука. В названии многих научных направлений явно отражена их связь с операцией сравнения (“сравнительная анатомия”, “сравнительная палеонтология”, “сравнительное языкознание” и др.). Особо выделяется и сравнительный метод.

    В логике операцию сравнения явно не выделяют, несмотря на универсальный характер ее использования в языке исследователя (в метаязыке) при описании дедуктивных и особенно индуктивных умозаключений, в частности аналогии. Зато в теории конечных (цифровых) автоматов операция сравнения является фундаментальной. Здесь реализуется ее математический смысл — “сравнимость по модулю”. Теорией сравнений в этом смысле воспользовался и И. И. Жегалкин для представления логики высказываний как арифметики вычетов по модулю два.

    Сравнение служит важным выразительным приемом, характеризующим не только значения слов, но нередко стиль и индивидуальность описания (или повествования) в стиховой речи и в художественной прозе, где особенную роль играет контрастность значений сопоставляемых (и противопоставляемых) в сравнении слов. В теории литературы сравнение как художественный прием является специальным предметом изучения и проблемой стилистики. См. ст. Тропы.

    M. M. Новосёлов