Akademik

логич. термин прикладного предикатов исчисления, уточняющий круг предметов, о к-рых говорят предикаты. О. п. играет особую роль в логике классов, где она наз. также "универсумом" и обозначается единицей ["универсуму" при этом противополагается обычно "пустой класс" (см. Пустое), к-рый обозначается нулем ]. Термин "универсум" для О. п. был употреблен впервые О. де Морганом (Camb. Phil. Transactions, VIII, 580), к-рый говорит по этому поводу "об изобретении нового технического термина". Согласно Дж. Венну, соответственное понятие имелось уже в логике и ранее. У Сандерсона оно фигурировало, напр., как Suppositio. Введение этого термина в классич. логику классов связано с тем, что в этой логике отрицание "не", к-рое, естественно, относится только к предложениям, применяется и к классам при образовании дополнения. В обычной речи мы не скажем: "Человек является не студентом". В логике классов такое выражение представляется вполне оправданным. Вопрос о том, что понимать под дополнением к классу, представляет, однако, трудности, ярко описанные Венном в применении к классу "не-черный". "Мы можем, если угодно, определить его как включающий все то, что не является черным: – включающим, напр., геологический ледниковый период, притязания папства, последнее письмо Клариссы Харлоу и пожелания нашего отдаленного потомства. Но речь настолько ясно идет о цвете, что никакой разумный человек не станет сомневаться в том, чтó именно имеется в виду. И аналогично в большинстве других случаев" (Venn J., Symbolic logic, L., 1894, p. 246). Иными словами, чтобы дополнение имело смысл, нужно располагать информацией о том, каково то "целое" (универсум), до к-рого мы хотим дополнять наши классы. Универсум, или О. п., относится, т.о., уже, по Венну (1894), не к чистой логике, а к ее приложениям, и в каждом из этих приложений определяется по-новому. "Мы можем ограничить наше применение терминов "хороший" и "не-хороший" лондонским кэбами с нечетными номерами, и всякое логическое правило будет при этом оставаться столь же верным, как и в случае, если бы мы выбрали менее абсурдный род универсума" (там же, р. 252). В логике классов существенно только, что "все, что исключается из х, включается в не-x" (там же, р. 253).

Т. зр. Венна, к-рая в конце 19 в. не разделялась еще мн. логиками, в т.ч. даже таким видным представителем математической логики, как Г. Фреге, является в наст. время общепринятой (Фреге хотел ввести в рассмотрение единую О. п., долженствовавшую включать в с е в о о б щ е, в т.ч. и мыслимые предметы мира). Единств. требование, налагаемое теперь обычно на О. п. в логике предикатов, состоит в непустоте этой области. Впрочем, делаются попытки строить исчисление предикатов и для пустых областей. [Два разных способа построения логики предикатов, в к-рой возможны и пустые О. п., содержатся в ст. A. Mostowski, On the rules of proof in the pure functional calcules of the first order, "J. Symbolic Logic", 1951, v. 16, No2, p. 107–11; T. Halperin, Quantification theory and empty individual-domains, там же, 1953, v. 18, No 3, p. 197–200 ].

Лит. см. при ст. Логика классов и Предикатов исчисление.