Akademik

1) В широком смысле – любая совокупность нек-рым образом специализированных языковых средств с (более или менее) точно фиксиров. правилами образования "выражений" (с и н т а к с и с Ф. я.) и приписывания этим выражениям определ. смысла (с е м а н т и к а). В таком употреблении термин "Ф. я." не предполагает, вообще говоря, никаких спец. ограничений ни на синтаксич. структуру, ни на семантич. правила, ни на назначение такого языка. В частности, Ф. я. может как включать дедуктивные элементы (т.е. служить способом выражения умозаключений, предназначаемых для доказательства или вывода нек-рых утверждений), так и не включать таковых (т.е. быть именно и только "языком" как таковым). При таком широком словоупотреблении между "формализованными" и "неформализованными" языками нет четкой границы, они представляют собой не столько два "разных языка", сколько различные способы описания одной и той же "языковой субстанции". Напр., выражения "Н2О", "вода", "eau", "water", "Wasser", "vesi" и т.д. можно, в принципе, в равной мере считать элементами "Ф. я. химии", и обычный выбор в качестве стандартного именно первого из них определяется не какой-то его особой "формальностью", а тем удобным обстоятельством, что лишь оно (как, впрочем, и более громоздкие выражения вида "вещество, молекула к-рого состоит из двух молекул водорода и одной молекулы кислорода") имеет четкую структуру, "подсказывающую" способ его образования из нек-рых "элементарных" языковых символов (знаков химич. элементов, скобок, точек и цифр), что играет решающую роль при построении простой и обозримой семантики этого языка. Такого же рода соображения определяют, по существу, и выбор стандартных "Ф. я. математики" и т.п. Структурная организованность таких "математизированных" Ф. я. чрезвычайно важна для задач (математической) логики, где термин "Ф. я." употребляется в следующем, более узком смысле.

2) Под Ф. я. в логике понимают интерпретированное исчисление, т.е. нек-рую формальную систему вместе с ее интерпретацией. Именно ввиду наличия интерпретации как неотъемлемого элемента Ф. я. для обозначения этого понятия часто употребляют (синонимичный) термин "семантич. система" (в отличие от "синтаксич. систем" – неинтерпретированных исчислений).

Использование Ф. я.– характерная особенность матем. логики, к-рую часто и определяют как "предмет формальной логики, изучаемый посредством построения формализованных языков". Следует, впрочем, заметить, что такого рода "определения" отнюдь не являются неотъемлемым атрибутом изложений математич. логики: понятие Ф. я. не только не входит (как правило) в предметные логико-математич. языки, но не является, строго говоря, и элементом никакого конкретного метаязыка, будучи, скорее, удобным рабочим термином для предварительных эвристич. пояснений предмета этой науки. Напр., в таких классич. изложениях математич. логики, как "Введение в метаматематику" С. К. Клини (пер. с англ., М., 1957) или "Grundlagen der Mathematik" Д. Гильберта и П. Бернайса (В., 1934–39), этим понятием (по крайней мере в явном виде) вообще не пользуются (хотя и следуют, конечно, воплощенным в нем идеям и представлениям).

Лит.: Черч Α., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, введение (§ 00–09); Tarski Α., Der Wahrheitsbegriff in den formalisierten Sprachen, "Studia Philos.", 1935, Bd 1, S. 261–405; Carnap R.. Introduction to semantics and formalization of logic, L., 1959.

    ФОРМАЛИЗОВАННЫЙ ЯЗЫК — искусственная знаковая система, предназначенная для представления некоторой теории. Формализованный язык отличается от естественных (национальных) языков человеческого общения и мышления, от искусственных языков типа Эсперанто, от “технических” языков науки, сочетающих средства определенной части естественного языка с соответствующей научной символикой (язык химии, язык обычной математики и др.), от алгоритмического языка типа обобщенного программирования и т. п. прежде всего тем, что его задача — служить средством фиксации (формализации) определенного логического содержания, позволяющего вводить отношение логического следования и понятие доказуемости (либо их аналоги). Исторически первым формализованным языком была силлогистика Аристотеля, реализованная с помощью стандартизованного фрагмента естественного (греческого) языка. Общую идею формализованного языка сформулировал Лейбниц (characteristica univeisalis), предусматривавший его расширение до “исчисления умозаключений” — calculus ratiocinator. В Новое время различные варианты формализованных языков разрабатывались на основе аналогии между логикой и алгеброй. Вехой здесь явились труды Моргана, Буля и их последователей, в особенности Шредера и Порецкого. Современные формализованные языки — в их наиболее распространенных формах — восходят к труду Фреге “Begriffsschrift” — “Запись в понятиях” (1879), от которого идет главная линия развития языка логики высказываний и (объемлющей ее) логики (многоместных) предикатов, а также применение этих логических языковых средств к задачам обоснования математики.

    Характерная структура таких формализованных языков: задание алфавита исходных знаков, индуктивное определение (правильно построенной) формулы языка, т. н. задание правил образования, задание правил вывода, т. н. правил преобразования, которые сохраняют выделенную логическую характеристику формул (истинность, доказуемость и др.). Добавление правил преобразования превращает формализованный язык в логическое исчисление. Существует много видов формализованных языков: это прежде всего языки дедуктивно-аксиоматических построений, систем натурального (“естественного”) вывода и секвенциальных построений, аналитических таблиц, систем “логики спора” и многих других.

    Формализованные языки различаются по своей логической силе, начиная с “классических” языков (в которых в полной мере действуют аристотелевские законы тождества, противоречия и исключенного третьего, а также принцип логической двузначности) и кончая многочисленными языками неклас

    сических логик, позволяющих ослаблять те или иные принципы, вводить многозначность оценок формул либо их модальности. Разработаны языки, в которых логические средства в том или ином смысле минимизируются. Таковы языки минимальной и положительной логик или язык логики высказываний, использующий единственную логическую операцию, напр. штрих Шеффера (см. Логические связки).

    Формализованные языки обычно характеризуют в терминах синтактики и семантики. Но самым существенным является та логическая характеристика его формул, которая сохраняется правилами вывода (истинность, доказуемость, подгверждаемость, вероятность и пр.). Для любого формализованного языка фундаментальными являются проблемы полноты выражаемой в нем логики, ее разрешимости и непротиворечивости; напр., язык классической логики высказываний полон, разрешим и непротиворечив, а классической логики предикатов (многоместных) хотя и полон, но неразрешим; язык же расширенного исчисления предикатов — с кванторами по предикатам и неограниченным применением принципа абстракции — противоречив (такой была логико-арифметическая система Фреге, в которой Рассел обнаружил антиномию, названную его именем).

    Формализованный язык может быть “чистой формой”, т. е. не нести никакой внелогической информации; если же он ее несет, то становится прикладным формализованным языком, специфика которого — наличие постоянных предикатов и термов (дескрипций) — напр. арифметических, — отражающих свойства прикладной области. Для формализации теорий высокого уровня абстракции формализованный язык может по-разному видоизменяться, расширяться либо “надстраиваться”; пример: формализация классического математического анализа как арифметики второго порядка (т. е. с кванторами по предикатным переменным). В ряде случаев формализованный язык содержит логические структуры многих — даже бесконечно многих — порядков (такова, напр., “башня языков” А. А. Маркова, служащая формализации конструктивной математики, или интерпретация модальностей в виде иерархии “возможных миров”). Семантическая база формализованного языка логики может быть теоретико-множественной, алгебраической, вероятностной, теоретико-игровой и др. Возможны и такие ее “ослабления”, которые лишь родственны вероятностной семантике — так возникает, напр., формализованный язык “расплывчатой логики” (в смысле Заде). Тогда язык приобретает специфическую прагматику, принимающую во внимание фактор носителя языка (дающего оценку “функции принадлежности” предмета объему данного понятия). Здесь проявляется крепнущая ныне тенденция учета в формализованных языках “человеческого фактора” — в том или ином его виде, что явно проявляется в некоторых формализованных языках логики квантовой механики. В другом направлении идет разработка формализованных языков, семантика которых предполагает отказ от экзистенциальных допущений либо те или иные онтологические предпосылки — о допустимости правил с бесконечным числом посылок, “многосортности” предметных областей, даже противоречивых, и т. д.

    Непременной чертой формализованного языка является “возможностное” истолкование правил вывода; напр., на определенном шаге мы вольны использовать либо не использовать, скажем, правило modus ponens. Этой черты лишены алгоритмические языки, носящие “предписывающий” характер. Но по мере развития компьютерной логики и разработки программ “описывающего” типа это различие начинает сглаживаться. В этом же направлении действует и разработка формализованных языков, ориентированных на решения задач эвристики.

    Лит.: ЧерчА. Введение в математическую логику, т. 1. M., 1960; Клинч С. К. Введение в метаматематику М., 1957; КарриХ. Основания математической логики. М., 1969; Фрейденталь X. Язык логики. М., 1969; Смирнова Е.Д. Формализованные языки и проблемы логической семантики. М., 1982.

    Б. В. Бирюков