Внешнее (пропозициональное) служит для образования сложного высказывания из другого (не обязательно простого) высказывания. В нем утверждается отсутствие положения дел, описываемого в отрицаемом высказывании. На основании классического понимания истинности как соответствия действительности это означает, что в случае истинности отрицаемого высказывания отрицающее его высказывание будет ложным и наоборот. В русском языке пропозициональное отрицание обычно выражается посредством оборота «неверно, что», за которым следует отрицаемое высказывание. Внутреннее отрицание входит в состав простого высказывания. Различают отрицание в составе связки (отрицательная связка) и терминное.
Отрицание в составе связки выражается с помощью частицы «не», стоящей перед глаголом-связкой (если он имеется) или перед смысловым глаголом. Оно служит для выражения суждений об отсутствии каких-то отношений («Иван не знает Петра») или для образования отрицательной предицирующей связки в составе категорических атрибутивных суждений.
Терминное отрицание используется для образования негативных терминов. Оно выражается через приставку «не» или близкие ей по смыслу («Все неспелые яблоки – зеленые»). Если сопоставить термину множество предметов, которые он обозначает, то отрицательному термину будет соответствовать дополнение к отрицаемому термину на некотором универсуме рассмотрения. Таким образом, с терминным отрицанием ассоциирована операция взятия дополнения. Последнее можно распространить и на другие виды отрицания, если соотнести с произвольным высказыванием множество ситуаций (возможных миров и т.п.), в которых оно истинно.
2. В искусственных языках логики символической отрицанием называется особая унарная пропозициональная связка, используемая для образования из одной формулы другой, более сложной. Для обозначений отрицания обычно используются символы «~», «–» или «˥». В классической логике высказываний формула ˥A истинна тогда, и только тогда, когда формула A ложна, в противном случае формула ˥A ложна.
На основании отмеченного выше соответствия между отрицанием и операцией взятия дополнения, используя метод формализации, можно установить определенные соотношения между внешним и внутренним отрицанием. В неклассических логиках отрицание может обладать различными свойствами из следующего набора:
(1) «контрапозитивность»: (A → B) → (˥B → ˥A);
(2) «введение двойного О.»: A → ˥˥A;
(3) «снятие двойного О.»: ˥˥A → A;
(4) «из противоречия следует все что угодно»: (A & ˥A) → B.
Минимальное отрицание удовлетворяет свойствам (1) и (2), а интуиционистское – свойствам (1), (2), (4) (см. Интуиционистская логика>). Минимальное отрицание, удовлетворяющее свойству (3), называется отрицанием де Моргана. Наконец, отрицание де Моргана, обладающее свойством (4), называют отрицанием Буля (при условии принятия аксиомы дистрибутивности для конъюнкции и дизъюнкции).
О других свойствах отрицания см. Паранепротиворечивая логика>, Многозначная логика>. Кроме того, отрицание используется в языках программирования для образования отрицательных выражений, напр., в языках логического программирования имеется т.н. «отрицание как неудача».
Д.В.Зайцев
Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001.