Akademik

- в широком смысле область математики, изучающая топологич. свойства разл. матем. и физ. объектов. Интуитивно, к топологич. относятся качественные, устойчивые свойства, не меняющиеся при деформациях.

Матем. формализация идеи о топологич. свойствах обычно основывается на понятии непрерывности. Наиб. универсальным является определение непрерывности, базирующееся на введении T. (в узком смысле слова), или структуры т о п о л о г и ч е с к о г о п р о с т р а н с т в а (коротко - "пространства") в данное множество.T. на произвольном множестве точек X задана, если указано, какие подмножества в X считаются о т к р ы т ы м и (т. е. состоящими только из своих внутр. точек - точек, имеющих окрестности, целиком содержащиеся в данном подмножестве). При этом, по определению, объединение любого числа открытых подмножеств и пересечения конечного их числа должны быть открытым подмножеством, всё множество X и пустое подмножество также считаются открытыми. Дополнение к открытому подмножеству в X наз. з а м кн у т ы м п о д м н о ж е с т в о м. Обычно для задания T. в X указывают её базу: совокупность таких открытых подмножеств, из к-рых любое открытое может быть получено операциями объединения и конечного пересечения. Напр., стандартная T. числовой прямой задаётся базой из интервалов a<t<b. Любая часть (подмножество) M топологич. пространства X также наделяется Т.: открытыми в M являются пересечения с M множеств, открытых в X. Напр., в единичном отрезке числовой прямой, , открытыми будут интервалы a<t<b, полуинтервалы и их любые объединения.

Наиб. важными для приложений классами топологич. пространств являются достаточно общие геом. фигуры - многообразия и комплексы, определения к-рых будут даны ниже, а также функциональные пространства, где точка - это ф-ция (или отображение).

Для топологич. пространств определён ряд след. простейших топологич. понятий, фактически возникающих в элементарной теории ф-ций.

1. Отображение топологич. пространств наз. н е п р е р ы в н ы м, если полный прообраз любого открытого подмножества в Y открыт в X. В частности, непрерывные отображения пространства X в числовую прямую наз. непрерывными ф-циями на X.

2. Два пространства X, Y наз. т о п о л о г и ч е с к и э кв и в а л е н т н ы м и, если определены два непрерывных взаимно обратных отображения (г о м е о м о р ф и з м а)

По определению, все топологич. свойства топологически эквивалентных пространств должны совпадать. Числовые (или более сложные, алгебраические) характеристики топологич. свойств, называемые т о п о л о г и ч е с к и м и и н в а р и а нт а м и, также должны быть одинаковыми для топологически эквивалентных пространств. Важным (напр., в качественной теории динамических систем )примером такого топологич. инварианта, определённого для широкого класса пространств, является р а з м е р н о с т ь (разл. варианты её определения см. [5 ]).

3. Непрерывное отображение единичного отрезка I в пространство X наз. п у т ё м, соединяющим его концы - точки g(0) и g(1). Пространство X наз. (линейно) с в я з н ы м, если любые две его точки можно соединить путём. Если пространство X не является связным, то оно распадается на куски - к о м п о н е н т ы с в я з н о с т и, каждая из к-рых связна.

4. П р я м о е п р о и з в е д е н и е Xx Y пространств X, Y определяется как множество пар ( х, у )точек из X, Y, причём прямые произведения открытых подмножеств в X, Y образуют базу в XxY Напр., прямое произведение числовых прямых-это плоскость; непрерывные ф-ции на -это непрерывные ф-ции двух переменных.

5. Д е ф о р м а ц и я, или г о м о т о п и я, отображения - это непрерывное отображение y=F(x, t), прямого произведения пространства X на единичный отрезок такое, что . Отображение заданное ф-лой будет результатом деформации отображения f₀. Отображения f₀ и f₁ наз. г о м о т о п н ы м и. Все отображения из X в Y (поля на X со значениями в Y )распадаются на классы гомотопных отображений. Числовые характеристики таких классов наз. г о м о т о п и ч е с к и м и и н в а р иа н т а м и отображений или т о п о л о г и ч е с к и м и з а р я д а м и.

6. Два пространства X, Y наз. г о м о т о п и ч е с к и э кв и в а л е н т н ы м и, если определены непрерывные отображения: и такие, что отображение g(f(x)) гомотопно тождественному отображению , а отображение f(g(x))- тождественному отображению Напр., евклидово пространство (или выпуклая область в нём) с т я г и в а е м о, т. е. гомотопически эквивалентно точке. Многие важные топологич. инварианты (гомологии, гомотопич. группы, см. ниже) одинаковы для гомотопически эквивалентных пространств, т. е. являются г о м о т оп и ч е с к и м и и н в а р и а н т а м и.

7. Выделен важный подкласс х а у с д о р ф о в ы х п р ос т р а н с т в, в к-рых любые две точки можно окружить непересекающимися открытыми подмножествами (неха-усдорфовы пространства, как правило, не возникают в приложениях). В частности, хаусдорфовыми являются м е т р и ч е с к и е п р о с т р а н с т в а, в к-рых T. определяется метрикой: неотрицательной ф-цией r( х, у), задающей расстояние между любыми двумя точками х, у пространства [требуется, чтобы r(x,y)=0 только при у = х; - неравенство треугольника]. T. в метрич. пространстве определяется базой из открытых шаров Класс к о мп а к т н ы х п р о с т р а н с т в X определяется след. условием: из любого покрытия пространства X бесконечным числом открытых подмножеств можно выделить конечное число подмножеств, также покрывающих X. Непрерывные ф-ции на компактном связном пространстве обладают многими свойствами ф-ций, непрерывных на отрезке (ограниченность и др.). В евклидовом пространстве компактными будут замкнутые ограниченные подмножества.

Особой наглядностью отличаются топология, конструкции и задачи, возникающие при изучении кривых и поверхностей в трёхмерном пространстве. Единственным тополо-гич. инвариантом поверхности M² (связной и замкнутой, т. е. без края) является её род, обозначаемый обычно через g, равный числу "дыр" на рисунке поверхности (рис. 1). [Мы не рассматриваем пока неориентируемые поверхности (см. ниже), к-рые нельзя расположить в трёхмерном пространстве без самопересечений.] Для сферы g=0, для тора g=1Если поверхность представлена в виде многогранника, то её род может быть вычислен через э й л е р о в у х а р а к т е р и с т и к у

где В-число вершин, P-число рёбер, а Г-число граней многогранника. Непрерывным вариантом этой ф-лы является ф-ла Гаусса - Бонне

где К- гауссова кривизна поверхности, dS- элемент площади. Если M² задана как риманова поверхность многозначной алгебраич. ф-ции w = w(z), где F- многочлен от двух переменных, то её род может быть вычислен по ф-ле Римана - Гурвица, g=r/2-n+1, где r - суммарная кратность точек ветвления (см. Многозначная функция )ф-ции w(z) в к-рых происходит слияние нек-рых ветвей ф-ции w(z) [если в точке ветвления z₀ после слияния остаются различными k ветвей w₁(z₀) ...,w_k(z₀), то кратность этой точки ветвления, по определению, равна n-k].

Единственный топологич. инвариант h замкнутых н е о р и е н т и р у е м ы х п о в е р х н о с т е й определяется исходя из следующей их явной конструкции: нужно вырезать в поверхности сферы h отверстий и заклеить каждое из них листом Мёбиуса (важно, что его границей является окружность, рис. 2). При h =1 получается проективная плоскость, при h=2 - бутылка Клейна (рис. 3). Эйлерова характеристика такой поверхности, определяемая по аналогии с (1), равна 2-h. Такие поверхности в трёхмерном пространстве обязательно имеют самопересечения.

Рассмотрим теперь примеры топологич. задач теории кривых. Замкнутая (гладкая) несамопересекающаяся кривая g на плоскости всегда расположена "топологически одинаково": она разделяет плоскость на две части-внутреннюю и внешнюю. Первые примеры топологич. величин возникают в теории ф-ций комплексного переменного: если замкнутая кривая g лежит в области U на плоскости и ф-ция f(z) комплексно-аналитична в U, то величина не меняется при деформациях g внутри области U.

Для з а ц е п л е н и й-двух несамопересекающихся и непересекающих друг друга замкнутых кривых в трёхмерном пространстве - определён топологич. инвариант их расположения- к о э ф ф и ц и е н т з а ц е п л е н и я {g₁, g₂}. Он равен числу витков одной кривой вокруг другой и не меняется при деформациях кривых, в процессе к-рых не происходит пересечений. Для незацепленных кривых, к-рые указанными деформациями можно растащить по разные стороны нек-рой плоскости, коэф. зацепления равен нулю. Коэф. зацепления замкнутых кривых r = r₁(t), r=r₂(t'0 вычисляется по ф-ле

[r₁₂=r₁(t)-r₂(t'), в числителе - смешанное произведение]. Однако коэф. зацепления не несёт всей топологич. информации о взаимном расположении двух замкнутых кривых; напр., для зацепленных кривых, изображённых на рис. 4, коэф. зацепления равен нулю.

Более сложно строятся топологич. инварианты узлов- несамопересекающихся замкнутых кривых в трёхмерном пространстве (или в трёхмерной сфере S³, получающейся добавлением к бесконечно удалённой точки). Два узла топологически эквивалентны, если один из них можно продеформировать в другой, причём в процессе деформации не должно возникать самопересечений. Полным топологич. инвариантом, измеряющим отличие узла от тривиального (рис. 5), является группа узла, совпадающая с фундам. группой (см. ниже) дополнения к узлу в S³. (Для тривиального узла она совпадает с группой целых чисел.) Однако ввиду некоммутативности группы узла (алгоритм её вычисления см. в [2]) этот инвариант непригоден, в частности для эфф. топологич. классификации узлов. Определены также более грубые инварианты узлов и зацеплений-многочлены Александера, Джонса и др., возникающие как статистич. суммы в нек-рых моделях двумерной статистич. физики. Узлы и зацепления могут быть получены посредством нек-рых отождествлений в группах кос; это позволяет строить топологич. инварианты узлов и зацеплений с помощью теории представлений групп кос, основывающейся на использовании теории R -матриц. Предпринимались попытки использования узлов и зацеплений в статистич. механике нек-рых веществ с длинными молекулами.

Рис. 1. Поверхность рода g=2.

Рис. 2. Лист Мёбиуса.

Рис. 3. Неориентируемые поверхности.

Рис. 4. Пример зацепленных кривых с коэффициентом зацепления, равным нулю.

Рис. 5. Тривиальный ( а) и нетривиальный ( б )узлы.

Многомерные обобщения большинства перечисленных наглядно-топологич. задач приводят к T, многообразий - важнейшему разделу Т., тесно взаимодействующему с совр. матем. физикой. Множество точек Mⁿ является n -мерным гладким многообразием, если оно представлено в виде объединения нек-рых своих подмножеств U_a, a=1, 2, ...- карт, каждое из к-рых отождествлено с областью (открытым подмножеством) в пространстве . Отображения отождествления задают в каждом U_a локальные координаты. Требуется, чтобы на пересечении двух карт U_a и U_b координаты выражались через координаты (и обратно) при помощи гладких (т. е. непрерывно дифференцируемых достаточное число раз) ф у н к ц и й п е р е х о д а:

T. в многообразии определяется так: подмножество в M " открыто, если открыто его пересечение с каждой картой. Дополнительно в определении многообразия требуется, чтобы пересечение любых двух карт было открыто, а также чтобы Mⁿ было хаусдорфовым топологич. пространством. Многообразие наз. з а м к н у т ы м, если оно компактно и связно. Все понятия дифференц. исчисления ф-ций многих переменных и локальной дифференц. геометрии (гладкие ф-ции и отображения, векторные и тензорные поля, дифференц. формы, римановы метрики и др.) несложно переносятся на многообразия. Многообразия наз. д и ф ф е о м о р ф н ы м и, если определены взаимообратные гладкие отображения и Многообразие Mⁿ- о р и е н т и р о в а н н о е, если локальные координаты согласованы так, что на пересечении двух карт . Если такой согласованный выбор карт на Mⁿ невозможен (напр., на проективной плоскости), то многообразие наз. н е о р и е н т и р у е м ы м. Определён интеграл дифференц. n -формы w (см. Дифференциальная форма )по n -мерному замкнутому ориентированному многообразию Mⁿ. М н о г о о б р а з и е с к р а е м Wⁿ выделяется в n -мер-ном замкнутом многообразии неравенством где f(x)- гладкая ф-ция, причём на крае дWⁿ, где f(x) =0, должно выполняться условие Край дWⁿ ориентированного многообразия сам является ( п-1)-мерным ориентированным многообразием (возможно, несвязным), и для любой дифференциальной ( п-1)-формы w справедлива общая ф-ла Стокса

где dw-дифференциал формы w (см. Стокса теорема).

Примерами многообразий служат поверхности в многомерных евклидовых пространствах, локально заданные неособыми системами гладких ур-ний. Хотя, в принципе, любое (с нек-рыми топологич. ограничениями, напр., компактное) многообразие может быть задано как поверхность в каком-то многомерном пространстве, ряд многообразий не задаётся в виде поверхностей. Напр., n -мерное проективное пространство RPⁿ определяется как совокупность ненулевых векторов ( u⁰ : u¹ : ... uⁿ ), рассматриваемых с точностью до пропорциональности. Карты U₀,..., U_n определяются из условия в карте U_a. Локальные координаты (x¹_a, х²_a, ..., х _aⁿ )в карте U_a имеют вид xⁱ_a= при при i>a Ф-ции на RPⁿ - это однородные ф-ции ( п +1) переменных, = Ещё один класс примеров - n -мер-ный тор Tⁿ, получающийся факторизацией пространства по целочисленной решётке, порождённой произвольным репером e₁ ..., е _n в . Ф-ции на Tⁿ - это n -кратно периодические ф-ции п переменных: Др. примеры см. в [1 ], [2], [7].

В приложениях часто возникают также многообразия, являющиеся группами Ли и однородными пространствами. Если в определении многообразия п=2 т и ф-ции перехода (3), определённые в области комплексного пространства комплексно аналитичны, то М^{2 т} наз. к о м п л е к сн ы м м н о г о о б р а з и е м комплексной размерности т. Примерами комплексно-одномерных многообразий являются комплексная плоскость сфера Римана получающаяся из добавлением бесконечно удалённой точки, а также римановы поверхности многозначных аналитических функций. Определены также комплексные проективные пространства CPⁿ, определяемые по аналогии с RPⁿ, но все координаты векторов комплексные. К о м п л е к сн ы е а л г е б р а и ч е с к и е м н о г о о б р а з и я в CPⁿ локально задаются системами однородных алгебраич. ур-ний от координат (u⁰, u¹, ..., и ⁿ). Напр., в разл. задачах матем. физики (см. [1], [3]) появляются п о в е р х н о с т и т и п а К 3; представители этого класса поверхностей задаются в CP³ однородными ур-ниями 4-й степени. В интегрируемых системах теории солитонов возникают а б е л е в ы м н о г о о б р а з и я - 2-мерные торы, получающиеся факторизацией пространства по целочисленной решётке, порождённой векторами e₁, ..., е _т, , где e₁,..., e_m - базис в , а t - линейный оператор в пространстве , задаваемый в базисе e₁, ..., е _т симметрич. матрицей с положительно определённой мнимой частью.

Одной из важнейших задач T. многообразий является задача классификации многообразий данной размерности п (напр., замкнутых) с точностью до диффеоморфности. При этом многие (хотя и не все - см. [3]) инварианты гладких многообразий оказываются топологич. и даже гомотопич. инвариантами. При п=1любое замкнутое многообразие есть окружность. При п =2любое замкнутое ориентированное многообразие есть поверхность нек-рого рода g>=0 а любое неориентированное-сфера с плёнками Мёбиуса. При n>=3 задача классификации не решена. Ряд топологич. инвариантов замкнутых ориентированных многообразий можно получить, интегрируя подходящие комбинации, компонент кривизны тензора R_ijkl произвольной римановой метрики [обобщение ф-лы (2) для эйлеровой характеристики]. Так, напр., эйлерова характеристика 4-мерного многообразия вычисляется по ф-ле

где e^ijkl -антисимметричный тензор 4-го ранга с e¹²³⁴ = = 1, а 1-й к л а с с П о н т р я-г и н а-по ф-ле

Для построения более сложных инвариантов 3-мерных и 4-мерных многообразий привлекают идеи и методы квантовой теории поля [4], [6].

Важна также задача гомотопич. классификации отображений многообразий (все отображения и гомотопии можно считать гладкими). Напр., задача отыскания топологич. характеристик (или топологических зарядов) n -компонентных полей определённых на С заданной асимптотикой на бесконечности типа .при совпадает с задачей гомотопической классификации отображений сфер Полностью решается задача классификации отображений произвольного n -мерного замкнутого ориентированного многообразия Mⁿ в n -мерную сферу Sⁿ. Единственным инвариантом (или топологич. зарядом) отображения полностью определяющим его гомотопич. класс, является с т е п е н ь о т о бр а ж е н и я - целое число deg f вычисляемое по ф-ле

где s_n -объём единичной n -мерной сферы. Укажем также и н в а р и а н т Х о п ф а-целое число, полностью определяющее гомотопич. класс отображений сфер

где 1-форма w на S³. такова, что , dS- форма площади на S². (Интегральные ф-лы для топологич. зарядов отображений разл. многообразий и нек-рые их физ. приложения см. в [8 ].)

Идеи и методы T. многообразий в ряде случаев удаётся применить к изучению функциональных пространств, рассматривая их как бесконечномерные многообразия. Важнейшими примерами являются п р о с т р а н с т в о п у т е й с фиксированными концами, расположенных на данном многообразии Mⁿ, а также п р о с т р а н с т в о п е т е л ь (замкнутых кривых) на Mⁿ.T. пространства путей и пространства петель на многообразии Mⁿ оказывается тесно связанной с T. многообразия Mⁿ. Это обстоятельство исключительно важно для решения задач вариационного исчисления в целом (см. ниже).

Ещё один важный класс топологич. пространств - к о м п л е к с ы, к-рые возникают как обобщения многогранников. T. комплексов является тем самым комбинаторной версией T. многообразий (хотя и находится с ней в тесных взаимоотношениях). Подобно тому как многообразия склеиваются из областей евклидова пространства, с и м п л и ц и а л ь н ы е к о м п л е к с ы склеиваются из с и м п л е к с о в - отрезков, треугольников и их многомерных обобщений, n -мерный симплекс определяется как выпуклая оболочка n+1 точек x₀, x₁,..., х _n в n -мерном пространстве, не лежащих в одной n -мерной плоскости, т. е. совокупность точек вида

Г р а н и такого симплекса получаются приравниванием нулю части координат t₀, t₁, ..., t_n. Симплициальным комплексом К наз. совокупность симплексов, удовлетворяющая след, двум требованиям: 1) вместе с каждым симплексом в комплексе содержатся все его грани; 2) любые два симплекса или не имеют общих точек, или пересекаются по целой грани. Напр., одномерный комплекс - это г р а ф. Комплекс К является топологич. пространством: открытыми являются те подмножества точек в К, пересечение к-рых с каждым симплексом открыто. Подразделением комплекса К наз. новый комплекс, получающийся из К разбиением каждой его грани на более мелкие части, превращающие саму эту грань в симплициальный комплекс. Числовые или алгебраич. характеристики топологич. свойств комплексов по определению должны совпадать для исходного и подразделённого комплексов, т. е. являться к о м б и н а т о р н ы м и и н в а р и а н т а м и. Большинство (но не все-см. [3]) комбинаторных инвариантов комплексов, напр. эйлерова характеристика

где c_k - число k -мерных симплексов комплекса К, являются топологическими и даже гомотопическими инвариантами.

К у б и ч е с к и е к о м п л е к с ы определяются аналогично симплициальным, но вместо симплексов берутся кубы всех размерностей. Особый интерес такие комплексы вызывают потому, что евклидовы пространства допускают правильное разбиение на кубы (решётка). Связанные с кубич. комплексами топологич. задачи возникают поэтому при изучении моделей статистич. физики [9]. При вычислении нек-рых гомотопич. инвариантов пространств (напр., гомологии и гомотопических групп - см. ниже) используются также клеточные комплексы [3 ].

При изучении топологич. свойств методами а л г е бр а и ч е с к о й T. каждому (достаточно хорошему) пространству сопоставляется алгебраич. характеристика - линейное пространство, группа, кольцо и пр., причём это сопоставление (ф у н к т о р) должно обладать свойством е с т е с т в е н н о с т и или к о в а р и а н т н о с т и: отображениям топологич. пространств сопоставляются алгебраич. отображения (гомоморфизмы-см. Группа )их алгебраич. характеристик. Простейшим примером является ф у н д ам е н т а л ь н а я г р у п п а пространства. Элементами фундаментальной группы p₁(X, x₀ )пространства X с отмеченной точкой x₀ являются гомотопические классы петель - замкнутых путей с началом и концом в точке x₀ (в процессе гомотопии начало и конец пути должны оставаться в точке x₀). Произведение путей определяется как их последовательное прохождение, а единичный элемент - постоянное отображение в точку x₀. Эта группа, вообще говоря, некоммутативна. При изменении отмеченной точки x₀ в связном пространстве X группа p₁(X, x₀) заменяется на изоморфную. Непрерывное отображение пространств X, Y с отмеченными точками индуцирует гомоморфизм фундам. групп (ковариантность), не меняющийся при гомотопиях отображения f. Отсюда уже вытекает, что фундам. группа является гомотопическим инвариантом связного пространства. Поэтому для стягиваемого пространства- прямой, плоскости, евклидова пространства, дерева (графа без циклов) и др.- фундам. группа тривиальна, т. е. состоит только из единичного элемента. Пространства с тривиальной фундам. группой наз. о д н о с в я з н ы м и. Односвязной является также сфера, евклидово пространство с набором выколотых точек и др. Простейший пример неодносвязного пространства - окружность S¹ (ей гомотопически эквивалентна плоскость с выколотой точкой): (группа целых чисел). [Если задать петлю на S¹ функцией f(t), удовлетворяющей условию то целое число k и будет единственным топологич. зарядом этой петли] Примерами пространств с неабелевой фундам. группой являются плоскость с n>=2 выколотыми точками, а также поверхности рода g>=2. Для проективных пространств группа состоит из двух элементов +1, - 1. [Если задать петлю на RPⁿ не обращающейся в нуль вектор-функцией (u⁰(t), u¹(t), ...,uⁿ(t)), причём i= 0, 1,..., n, то соответствующий элемент + 1 фундам. группы совпадает со знаком l. ]

Аналогично определяются высшие гомотопич. группы p_k (X, x₀). Их элементами являются гомотопич. классы отображений k -мерной сферы (с отмеченной точкой) в X. Эти группы при k>=2 абелевы. Особенно важны гомотопич. группы сфер , нетривиальные при k>=n.. Известно, напр., что [топологич. заряд - степень отображения (5)], [топологич. заряд - инвариант Хопфа (6)]. До настоящего времени при всех k, n группы не вычислены. (Таблицу известных гомотопич. групп сфер см. в [2].)

Более простыми топологическими (и гомотопическими) характеристиками являются г о м о л о г и и и к о г о м о л о г и и пространств. Проще всего определить когомологии многообразий. Элементами k- йгруппы (и даже линейного пространства) когомологий являются классы эквивалентности замкнутых дифференц. k -форм,

, на многообразии M, рассматриваемых с точностью до т о ч н ы х ф о р м: w~w' ,если w-w'=ds ,где s-(k-1)-форма. Размерность пространства наз. k- мч и с л о м Б е т т и Известно, что b₀ равно числу связных компонент M, сумма b₀ - b₁+b₂ - ... равна эйлеровой характеристике M. Если многообразие Mⁿ n -мерно, то при k>n;для замкнутых ориентируемых многообразий имеет место д в о й с т в е н н о с т ь П у а н к а р е: Напр., для n -мерной сферы b₀ = b_n =1, остальные числа Бетти нулевые. Для стягиваемых M в силу гомотопич. инвариантности когомологии тривиальны: b_k =0 при k>0. Тем самым, в частности, из замкнутости dw=0 формы w вытекает существование локальной формы s , такой, что w=ds (утверждение, обобщающее условия потенциальности или соленоидальности векторных полей).

Элементами k -мерной группы гомологии пространства M, говоря наглядно, являются k- мерные циклы (или, иначе, ориентированные замкнутые k- мерные плёнки) в M и их формальные линейные комбинации с целыми коэффициентами. При этом два цикла считаются эквивалентными (г о м о л о г и ч н ы м и), если они служат границей (k+1)-мерной плёнки (рис. 6, для k=1). Для строгого определения групп гомологии приходится заменять пространство M на гомотопически эквивалентный ему комплекс [3]. Примеры: для поверхностей M² рода g имеем:

(2gcлагаемых); для проективной плоскости (группа из двух элементов), Если в определении гомологии брать линейные комбинации циклов с любыми вещественными коэф., то получаются группы (линейные пространства) (в качестве коэф. иногда полезно также брать элементы из любой абелевой группы). Ф-ла где w-замкнутая k- форма, а g- k -мерный цикл, определяет [в силу ф-лы Стокса (4)] невырожденное скалярное произведение между пространствами Поэтому эти пространства гомологии и когомологий имеют одинаковую размерность [равную числу Бетти b_k(M)].

Рис. 6. Гомологичные циклы g и g'=g₁-g₂ (двумерная плёнка между ними заштрихована).

Более сложные гомотопич. характеристики пространств, возникающие в алгебраич. Т.,- экстраординарные гомологии (напр., бордизмы, K -теория и др. [3]).

Важной сферой применения теории гомологии является вариационное исчисление в целом (этот раздел T. называют т е о р и е й М о р с а). Удаётся выводить существование решений вариационных задач на многообразии из информации о его гомологиях. Обобщение теории Морса на многозначные функционалы найдено в [10] (см. также [3]).

T. р а с с л о е н и й играет важную вспомогат. роль во многих топологич. вычислениях: её задачи имеют также и самостоятельную (в т. ч. прикладную) ценность. Интуитивно, расслоение с базой В и слоем F есть семейство одинаковых слоев F_x, непрерывно зависящих от точки x базы В (F, В- нек-рые пространства, напр. многообразия); объединение E всех слоев F_x наз. п р о с т р а нс т в о м р а с с л о е н и я, а отображение переводящее каждую точку слоя F_x в х,- п р о е к ц и е й р а с с л о ен и я. Простейшим примером служит прямое произведение E=F х В, где F_x состоит из пар вида (f, x),f- точка из F. Более сложный пример - лист Мёбиуса (расслоение с базой окружность и слоем отрезок). Если слой F является дискретным множеством, то расслоение наз. н а к р ы т ие м. Напр., отображение задаёт накрытие прямой над окружностью |z|=1, слоем является совокупность целых чисел. Накрытия - осн. инструмент при вычислении фундам. групп. Более сложные расслоения используются для вычисления гомотопич. групп. Для вычисления гомологии и когомологий расслоений используется техника спектральных последовательностей [3], [11].

Осн. задачей T. расслоений является задача классификации расслоений. По определению, гомоморфизм задаёт э к в и в а л е н т н о с т ь двух расслоений и р₂: если он сохраняет слои, т. е. для всех у из E₁. Расслоение, эквивалентное прямому произведению, наз. т р и в и а л ь н ы м. Расслоения над евклидовым пространством (без ограничений на поведение в бесконечности) тривиальны; G -расслоения над n -мерной сферой Sⁿ классифицируются элементами гомотопич. группы Топологич. характеристики расслоений наз. х а р а к т е р и с т и ч е с к и м и к л а с с а м и. Для расслоений со структурной группой G (где G - группа Ли) харак-теристич. классы могут быть выражены через кривизну расслоения, определяя тем самым топологич. заряды связ ностей в расслоении (или, эквивалентно, калибровочных полей). Напр., единств. топологич. инвариантом, задающим U(1)-расслоение над двумерной сферой S², является п е р в ы й к л а с с Ч е р н а (Ч ж э н я)

где -форма кривизны расслоения; , а для SU(2)-расслоений над 4-мерной сферой S⁴ - в т о р о й к л а с с Ч ж э н я

где

- матричная форма кривизны расслоения (интегралы нормированы условием целочисленности величин c₁ и c₂).

Осн. топологич. характеристикой эллиптич. оператора является его и н д е к с. (Это понятие возникло при исследовании краевых задач теории упругости.) Индексом линейного оператора [где H₁, H₂ -гильбертовы пространства, оператор А должен быть нетеровым, т. е. должен иметь конечномерное ядро-совокупность решений ур-ния Ay=0, и коядро-совокупность решений сопряжённого ур-ния (здесь - сопряжённый оператор)] называется разность размерностей ядра и коядра. Индекс является гомотопич. инвариантом оператора, не меняясь при деформации А в классе нетеровых операторов. Для эллиптич. оператора на многообразии (условие нетеровости выполнено) теорема об индексе позволяет вычислить индекс оператора через топологич. характеристики многообразия [4]. Это позволяет, в частности, в ряде случаев вычислять размерность пространства решений ур-ния вида Ay=0(т. е. число нулевых мод оператора А).

Топологич. методы оказываются также весьма полезными в ряде задач качественной теории динамич. систем и слоений: в задачах топологич. классификации таких систем, описания их инвариантных и предельных множеств и др.

Лит.:1) Фукс Д. Б., Классические многообразия, в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 12, M., 1985, с. 253; 2) Дубровин Б. А., Новикове. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия. Методы и приложения, 2 изд., M., 1986; 3) их же, Современная геометрия. Методы теории гомологии, M., 1984; 4) Шварц А. С., Квантовая теория поля и топология, M., 1989; 5) Гуревич В., Вол-мэн Г., Теория размерности, пер. с англ., M., 1948; 6) Witten E., Some geometrical applications of quantum field theory, in: IX International Congress on Mathematical Physics, Bristol-N. Y., 1989, p. 77; 7) Бессе А., Многообразия Эйнштейна, пер. с англ., т. 1-2, M., 1990; 8) Новиков С. П., Аналитический обобщенный инвариант Хопфа. Многозначные функционалы, "Успехи матем. наук", 1984, т. 39, № 5, с. 97; 9) Долбилин H. П., Штанько M. А., Штогрин M. И., Комбинаторные вопросы двумерной модели Изинга, "Труды МИАН", 1991, т. 196, с. 51; 10) Новиков С. П., Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса, "Успехи матем. наук", 1982, т. 37, № 5, с. 3; И) Фоменко А. Т., Фукс Д. Б., Курс гомотопической топологии, M., 1989.

Б. А. Дубровин.