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Schalt|algebra,

 

eine von C. E. Shannon zur rechnerischen Behandlung des Entwurfs, der Analyse und der Beschreibung binärer Schaltungen erschlossene boolesche Algebra. Binäre Schaltungen sind solche, für deren Eingangs- und Ausgangssignale nur zwei verschiedene Signalwerte möglich sind, als »H« und »L« bezeichnet (Logikpegel). Die entsprechenden Signalparameter können nur in zwei verschiedenen Wertebereichen liegen (Digitalsignal). Die Schaltalgebra ist ein komplementärer distributiver Verband mit den beiden zweistelligen Operationen Konjunktion (Zeichen ∧, &, ·) und Disjunktion (Zeichen ∨, +) für die Verknüpfung je zweier Variablen (Schaltvariablen), die nur einen der beiden logischen Zustände oder Werte »1« und »0« ein- oder annehmen können (boolescher Verband), sowie mit der einstelligen Operation Negation (Zeichen ^- über der Größe oder ¬, ∼ davor) als Komplementbildung. Die beiden Grundverknüpfungen der Schaltalgebra, Konjunktion und Disjunktion (Letztere wird auch als Adjunktion oder Alternative bezeichnet), sind zwei von insgesamt 16 (2⁽²ⁿ⁾) logischen Funktionen, die man durch Verknüpfung zweier binärer Variablen erhalten kann. Diese können alle unter ausschließlicher Verwendung von Konjunktion, Disjunktion und Negation dargestellt werden, wie sich u. a. anhand von Wahrheitstafeln in Verbindung mit der disjunktiven Normalform zeigen lässt; sie werden mithilfe von Verknüpfungsgliedern realisiert, deren Eingänge mit den entsprechenden Variablen beschaltet werden. Die Negation (NICHT-Verknüpfung) invertiert den Eingangssignalwert A, d. h., am Ausgang entsteht der Ausgangssignalwert Q = Ā. Bei der Konjunktion (UND-Verknüpfung) Q = A ∧ B ist der Ausgangssignalwert dann und nur dann gleich 1, wenn an allen Eingängen gleichzeitig der Signalwert 1 ansteht. Die Disjunktion (ODER-Verknüpfung) Q = A ∨ B liefert den Ausgangssignalwert 1 immer dann, wenn mindestens ein Eingangssignalwert gleich 1 ist. Weitere wichtige Verknüpfungsfunktionen sind die NOR- und NAND-(Inhibition-) sowie die EXOR-(Antivalenz-) und die EX-NOR-(Äquivalenz-)Verknüpfung und die entsprechenden Verknüpfungsglieder. Zur Darstellung derartiger Verknüpfungen dienen genormte Schaltzeichen. Es gibt verschiedene elektronische Schaltkreisfamilien mit Bausteinen, die elektrischen Signale nach diesen Grundregeln verknüpfen, um damit z. B. umfangreiche, prozessabhängige Ablaufsteuerungen aufzubauen.

 

In der Schaltalgebra gelten - ähnlich wie in der gewöhnlichen Algebra - das Kommutativ-, das Assoziativ- und das Distributivgesetz. Abweichend von der gewöhnlichen Algebra gelten für das Rechnen mit Binärvariablen folgende Regeln (Postulate): Durch die beiden Postulate A ∧ 0 = 0 und A ∨ 0 = A für jedes A wird der Zustand 0 zum Nullelement der Schaltalgebra; durch die Postulate A ∧ 1 = A und A ∨ 1 = 1 der Zustand 1 zum Einselement. Die Negation wird durch die beiden Postulate A ∧Ā = 0 und A ∨Ā = 1 für alle A definiert.

 

Eine Erweiterung der booleschen Algebra stellen die nach dem englischen Mathematiker A. De Morgan benannten zwei De-Morgan-Gesetze dar.

Schaltalgebra,

 

boolesche Algebra.