Akademik

        (Frege) Готлоб (8.11.1848, Висмар,—20.7.1925, Бад-Клайнен), нем. логик и математик. В фундаментальном труде «Осн. законы арифметики» («Grundgesetze der Arithmetik», Bd 1—2, 1893—1903) Ф. построил систему формализованной арифметики на основе разработанного им расширенного исчисления предикатов с целью обоснования идеи о сведении математики к логике (т. е. концепции логицизма). Однако система Ф. оказалась противоречивой, что было обнаружено Расселом. Сформулировал ряд идей и понятий, разработка которых во многом предопределила развитие логики в 20 в.: ввёл понятие логич. функции и различение свойств и отношений как соответственно одноместных и многоместных логич. функций; впервые стал употреблять кванторы; ввёл понятие истинностного значения и др. Ф. систематически исследовал отношения между языковыми выражениями и обозначаемыми ими предметами, а также провёл важное различие между значением и смыслом языковых выражений. Работы Ф. заложили основы логич. семантики.

        Begriffsschrift..., Halle, 1879; Ober Sinn und Bedeutung, «Zeitschrift fur Philosophie und philosophische Kritik», 1892, Bd 100, H. 1.

        Бирюков Б. В., Теория смысла Г. Ф., в кн.: Применение логики в науке и технике, [М., I960]; его же, О взглядах Г. Ф. на роль знаков и исчисления в познании, в кн.: Логич. структура науч. знания, М., 1965; Стяжкин Н. И., Формирование математич. логики, М., 1967 (лит.).

(Frege)

Готлоб (род. 8 нояб. 1848, Висмар – ум. 26 июля 1925, Йена) нем. философ, логик и математик, с 1879 – профессор математики в Йене. Создал наряду с Д. Булем основы логистики; продолжив ход мысли Больцано, Фреге рассматривал понятие как функцию от одной или многих переменных. Функциям (понятиям) он противопоставляет «предметы», которые являются для этих функций истинными или ложными ценностями. Логике понятий Фреге предпочитает логику предложений благодаря логическиструктурной простоте последней. Отчасти примыкал к Фреге Б. Рассел. Фреге дал первую аксиоматику логики высказываний и предикатов, построил первую систему формализованной арифметики; он явился одним из основоположников логической семантики. Осн. произв.: «Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens», 1879; «Die Grundlagen der Arithmetik», 1884; «Grundgesetze der Arithmetik», 2 Bde., 1893.

(Frege), Готлоб (8 нояб. 1848 – 26 июля 1925) – нем. логик, математик и философ; в 1879–1918 – проф. ун-та в Иене. В соч. "Исчисление понятий..." ("Begriffsschrift...", Halle, 1879) Φ. впервые осуществил дедуктивно-аксиоматич. построение логики высказываний (с импликацией и отрицанием в качестве исходных логич. операций) и логики предикатов средствами разработанного им формализованного языка. Эта работа Ф. положила начало теории математического доказательства, поскольку ее целью явился анализ основных понятий математики средствами логики. В сочинении "Основания арифметики" ("Die Grundlagen der Arithmetik", Breslau, 1884) Φ. продолжил исследования логич. фундамента математики, а в серии статей 1879–1904 гг. дал подробный анализ таких понятий, как "понятие", "предмет", "переменная", "функция", "смысл", "значение" и др. Гл. соч. Ф. являются "Основные законы арифметики" ("Grundgesetze der Arithmetik", Bd 1–2, Jena, 1893–1903), в к-ром он предложил систему формализованной арифметики на основе разработанного им расширенного (с кванторами по предикатам) исчисления предикатов, имея в виду обосновать идею о сводимости математики к логике (см. Логицизм). При этом Ф. исходил из тезиса об универсальном характере области предметов в логике, к-рая должна охватывать все (как конкретные, так и абстрактные) объекты универсума. Именно эта черта системы Ф. обусловила ее противоречивость, что и было обнаружено Расселом ("парадокс Рассела", см. Парадокс). Последующее развитие исследований по логике и основаниям математики (в частности, по аксиоматизации теории множеств, – система Ф. была, по существу, логизированной теорией множеств) было во многом связано с развитием наследства Ф. и, в частности, с преодолением обнаруженного в его системе противоречия (см. Типов теория).

Ф. был противником субъективизма в логике и философии. Он резко критиковал психологизм и эмпирич. направления в логике (в частности, взгляды Дж. С. Милля). В отстаиваемом Ф. тезисе об объективности общего (т.е. множеств объектов, в т.ч. и абстрактных) можно усмотреть позицию, к-рую в исследованиях по основаниям математики обычно называют "платонизмом".

Ф. принадлежит ряд идей и понятий, прочно вошедших в совр. науку. Так, логич. исчисление ("исчисление понятий") Ф. считал вспомогательным средством познания, разработанным для определенных науч. целей, и производным от естеств. языка и содержательного мышления. Он ввел понятие логической функции и различение свойств и отношений как, соответственно, одноместных и многоместных логич. функций; ввел представление об истинностных значениях; ввел и стал систематически употреблять кванторы; провел различение отношений принадлежности элемента классу и включения класса в класс; различение единичного объекта и класса, единств. элементом к-рого является этот объект, и др. Заслугой Ф. явилось явное использование принципа абстракции для введения новых (абстрактных) объектов и вообще исследование отношений между предметами, свойствами и отношениями различных уровней абстрактности (это позволило Ф., в частности, дать определение "натурального числа" как нек-рого "свойства понятия"). Ф. исследовал также отношение между обозначаемым и обозначающим (см. Знак), именем и именуемым предметом; рассмотрел отношение равенства языковых выражений по их содержанию, показал различие между значением и смыслом, между употреблением и упоминанием выражений, между прямым и косвенным их употреблением (см. Взаимозаменимости отношение). Ф. явился основоположником той части логической семантики, к-рая изучает значение языковых выражений и отношение обозначения.

Труды Ф. означали новый этап в развитии матем. логики; они оказали большое влияние на развитие в 20 в. логики, оснований математики и филос. проблематики этих областей знания.

Соч.: Funktion und Begriff, Jena, 1891; Über Begriff und Gegenstand, "Vierteljahrschrift für Wissenschaftliche Philosophie", 1892, Jg 16, No 2; Über Sinn und Bedeutung, "Z. Philos. und philos. Kritik", 1892, Bd 100; Kritische Beleuchtung einiger Punkte in E. Schröders Vorlesungen über die Algebra der Logik, "Archiv für systematische Philosophie", 1895, Bd 1; Was ist eine Funktion?, в кн.: Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum 60. Geburtstage 20. Februar 1904, Lpz., 1904.

Лит.: Черч Α., Введение в математическую логику, пер. с англ., М., 1960 (см. указат.); Карпан Р., Значение и необходимость, [пер. с англ.], предисл. С. А. Яновской, М., 1959 (см. указат.); Френкель А. А. и Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966 (см. указат.); Бирюков Б. В., О работах Фреге по философским вопросам математики, в сб.: Философские вопросы естествознания, вып. 2, М., 1959; его же, Теория смысла Г. Фреге, в сб.: Применение логики в науке и технике, [М., 1960]; его же, Крушение метафизической концепции универсальности предметной области в логике, М., 1963; его же, О взглядах Г. Фреге на роль знаков и исчисления в познании, в сб.: Логическая структура научного знания, М., 1965; Стяжкин Н. И., Формирование математической логики, М., 1967 (имеется библ. работ о Ф.).

    ФРЕГЕ (Frege) Готлоб [8 ноября 1848, Висмар (Мекленбург) — 26 июля 1925, Бад-Клайнен, под Висмаром] — немецкий математик, логик и философ. Учился в университетах Йены и Геттингена (математика, физика, химия); обе диссертации Фреге — в Гёттингене на получение ученой степени доктора философии (1873) и в Иене для получения звания доцента (1874) — математические. С 1874 приват-доцент, с 1879 экстраординарный профессор, с 1896 ординарный гонорар-профессор в Иене. В отставке по болезни с 1917.

    Фреге — основатель современной формальной (символической, математической) логики. В сочинении “Запись в понятиях” (1879) разработал оригинальный двумерный символический язык и его средствами впервые в логике построил дедуктивно-аксиоматическую систему расширенной (второй ступени) логики предикатов с равенством (при импликации и отрицании в качестве исходных пропозициональных операций и кванторе общности на функциональном уровне) и применил ее для формулировки некоторых математических понятий и доказательства относящихся к ним теорем. В сочинении “Основания арифметики” (1884) продолжил изучение логического фундамента математики, развив идею о сводимости основных понятий и принципов арифметики и математического анализа к чисто логическим понятиям и принципам. В серии статей 1879—1904 (из которых наиболее значима статья “О смысле и значении”, 1892) предпринял анализ таких лингвистических и экстралингвистических сущностей, как “понятие” и “предмет”; “функция”, “аргумент” (функции) и “переменная”; “пробег значения функции”, в случае понятия оказывающийся его “объемом” (“классом” предметов); “отношение” и “всеобщность”; (предметное) “значение” и “смысл” имен как дескриптивных выражений; “суждение” как носитель “мысли”, обладающий “истинностным значением” и др. В двухтомном сочинении “Основные законы арифметики” (1893, 1903), развив далее “понятийную запись”, ее средствами Фреге изложил арифметику, включая теорию действительных чисел. Расширенный характер его логического функционального исчисления, в котором обобщалось понятие функции и (в принципе) допускалась неограниченная их иерархия, делал это исчисление очень сильным, а явное использование Фреге принципа абстракции позволило ему определить понятие натурального (количественного) числа. Однако из-за неограниченного применения названного принципа, позволявшего вводить предметы любых уровней абстрактности, система Фреге оказалась противоречивой, что и было обнаружено Расселом. Последующая история логики и оснований математики (в частности, работы по аксиоматизации теории множеств) была во многом связана с развитием идей Фреге, и в частности с преодолением упомянутого противоречия; сам Фреге выхода из возникшей трудности не нашел.

    Фреге явился главным основоположником логической семантики; к нему восходит различение экстенсиональных и ин

    тенсиональных контекстов, метаязыка и объектного языка. Непримиримый противник эмпиризма и психологизма в логике, Фреге был убежден в реальности особого мира абстрактных объектов. Противник субъективизма, Фреге в философии математики занимал позицию т. н. платонизма. К нему восходит развитая Расселом концепция логицизма (которую Фреге не распространял на геометрию).

    Работы Фреге оказали значительное влияние на Гуссерля (побудив его отказаться от психологизма в философии математики и в логике), на Рассела, Корнана и Витгенштечна, на целые поколения ученых 20 в., во многом определив облик современной логики.

    Соч.: Begriffsschrift und andere Aufsätze. 2. Aufl., G. Olms. Hildesheim, 1964; Die Grundlagen der Arithmetik. Centenarausgabe. Meiner. Hamburg, 1986; Funktion, Begriff, Bedeutung. Fünf logische Studien. Vandenhoeck & Ruprecht. Göttingen. 2. durchgesehene Aufl. 1966; Grundgesetze der Arithmetik. I. Bd. H. Pole. Jena, 1893; II. Bd. H. Pole. Jena, 1903 (имеются переиздания); Kleine Schriften. 2. Aufl. G. Olms. Hildesheim, 1967, 434 S.; Nachgelassene Schriften und Wissenschaftlicher Briefwechsel, l. Bd., 1969, 2. Aufl. 1983, 2. Bd. Meiner. Hamburg, 1976; Логика и логическая семантика. М., 2000. Лит.: Бирюков С. В. О работах Фреге по философским вопросам математики.— В кн.: Философские вопросы естествознания, II, МГУ, 1969; Он же. Теория смысла Готлоба Фреге.— В кн.: Применение логики в науке и технике. М., I960; Он же. Крушение метафизической концепции универсальности предметной области в логике, 1963; Kutschern F. von. Gottlob Frege. Eine Einführung in sein Wsrk. De Gruyter. B., 1989; Thiel Chr. Sinn und Bedeutung in der Logik Gottlob Freges. Meisenheim an Glan, 1965; DummetM. The Interpretation of Frege's Philosophy. Cambr. (Mass.), 1981.

    Б. В. Бирюков