Akademik

        см. Класс в логике.

понятие математики и логики, выражающее обычно то же (или почти то же), что и понятие класса (в определ. форме различие между этими понятиями проводится иногда в связи со спец. проблематикой и терминологией теории М.). Поскольку, однако, в логич. основаниях математики обычно пользуются термином "М.", анализ глубоких трудностей, вызванных рассмотрением М. (конкретных или абстрактных) предметов (называемых э л е м е н т а м и М.), связан в методологии науч. исследования именно с применением термина "М.".

Введение в рассмотрение М. тех или иных предметов является одной из осн. познават. операций; при этом понятие М. становится отчетливым лишь в предположении, что элементы данного М. можно рассматривать как отд. предметы. Кроме того, обычно предполагается возможность сравнивать – различать и отождествлять – любые два элемента М.

Осн. принципом образования М. служит возможность рассматривать, в связи с каждым свойством, М. предметов, обладающих этим свойством. В соответствии с этим, в связи с каждым понятием можно рассматривать М. предметов, обладающих тем свойством, к-рое выражается этим понятием; соответствующее ему М. может состоять из любого (конечного) числа предметов; оно может также быть бесконечным; оно может быть и пустым, т.е. вовсе не содержать элементов – так, в частности, бывает тогда, когда рассматриваемое понятие логически п р о т и в о р е ч и в о (напр., М. всех круглых квадратов пусто, т. к. никакой квадрат не может быть круглым). М. может оказаться пустым и в том случае, когда соответствующее понятие непротиворечиво (т. е. когда мыслимы предметы, обладающие выражаемым им свойством); напр., до полета В. Николаевой-Терешковой в космос пустым было понятие "женщина-космонавт". Если понятие, в связи с к-рым образуется М., имеет в виду конкретный предмет, – таковы, напр., понятия, выражаемые собственными именами, – то М. состоит ровно из одного элемента. При этом М., состоящее из одного элемента, следует отличать от самого этого элемента. Напр., космонавт Валентина Николаева-Терешкова имеется только одна и поэтому М. всех космонавтов по имени Валентина Николаева-Терешкова состоит лишь из одного элемента и это М. следует отличать от самой Валентины Николаевой-Терешковой. Но и М., построенное в связи с общим (по крайней мере по форме) понятием, может состоять ровно из одного элемента; напр., М. всех женщин-космонавтов, известных на 4 июня 1963. В связи с рассмотрением М., состоящих лишь из одного элемента, могут возникать определенные трудности. Напр., М. центров тяжести Земли должно, согласно принципам механики и геометрии, состоять ровно из одной точки, однако благодаря непрерывным перемещениям тел на поверхности и в недрах Земли такая точка является лишь воображаемой реальностью.

Элементы М. могут быть отвлеченными объектами, в их обозначение могут входить неопредел. имена (т. е. языковые выражения в таком их употреблении, к-рое соответствует употреблению существительных с неопредел. артиклем в нем. и англ. языках), или т.н. п а р а м е т р ы. Так постоянно бывает, когда в рассмотрение вводятся множества точек, чисел и др. математич. объектов, к-рые при этом рассматриваются как неопределенные.

Понятие М. играет центр. роль в совр. классич. математике, т. к. к нему сводятся понятия действит. числа, функции, пространства и др. важнейшие понятия; оно крайне важно также и для л о г и к и. В т.н. чистой теории множеств рассматриваются М., элементами к-рых являются, в свою очередь, М. Это – характерная черта множеств теории. Основатель этой теории Кантор рассматривал понятие М. как результат двойной абстракции (отвлечения): от природы элементов М. и от порядка, в к-ром их естественно рассматривать. Первая из этих абстракций проводится последовательно лишь в отношении элементов, не являющихся М. Если элементами М. служат М., в теории множеств не отвлекаются от природы элементов. Часто рассматривают и упорядоченные М. (см. Порядка отношение), причем, с помощью понятия упорядоченной пары, их иногда сводят к М. в уже рассмотренном смысле, рассматривая такие, напр., М., как М. упорядоченных пар (обозначенных, напр., выражениями вида , где r и s – элементы данного упорядоченного М. и r предшествует s в рассматриваемом для этого М. порядке).

Конечные М. часто задаются перечнем их элементов (т. е. списком их названий). Это невозможно в случае бесконечных М., к-рые можно задать только указанием тех свойств, к-рыми обладают их элементы.

Рассматривая к.-л. область предметов (термин "область" является синонимом слова "М."), можно без колебаний ввести в рассмотрение любые M. элементов этой области, т.е. М. всех ее элементов, обладающих к.-л. свойством, – но это лишь в предположении, что сам факт образования этого М. не меняет ни первоначальной области, ни рассматриваемого свойства. Это, казалось бы, ясное требование приходится нарушать при попытках обоснования канторовской теории М. обычными средствами. Дело в том, что "свойства", рассматриваемые в этой теории, являются свойствами М., и в их формулировку постоянно входят выражения "для всех М.", "для нек-рых М." – и смысл этих выражений может измениться при построении нового, ранее не существовавшего М. Если М. вводится свойством этого рода, то говорят, что оно введено посредством н е п р е д и к а т и в н о г о о п р е д е л е н и я. Внимательное рассмотрение простейших построений классич. теории М. показывает, что эти построения либо просто основаны на таких допущениях, к-рые влекут за собой возможность этих построений (и в таком случае сами эти построения не могут служить для обоснования этих допущений, т. к. это значило бы круг в доказательстве), либо на непредикативных определениях, представляющих собой разновидность порочного круга в определениях. В использовании непредикативных определений можно видеть осн. причину возникновения парадоксов теории М. К таким парадоксам приводит, напр., рассмотрение М. всех M. (парадокс Кантора) или М. всех М., не являющихся своими собств. элементами (парадокс Рассела). Трудности, связанные с непредикативными определениями, являются одной из причин постановки острейших проблем логич. оснований теории М., поскольку важнейшие построения этой теории используют конструкции, обоснование к-рых включает непредикативные определения (или к.-л. др. вызывающие сомнения предположения). К числу таких конструкций относится, напр., построение объединения всех элементов нек-рого множества M., a на этом построении основаны доказательства мн. осн. теорем математич. анализа. Поэтому, с одной стороны, предпринимаются усилия по построению теории М., не использующей конструкций этого рода, – т.н. предикативная математика (Г. Вейль, Лоренцен), в к-рой мн. классич. теоремы верны лишь с нек-рыми ограничениями, – с др. стороны, приобретает особую остроту проблема доказательства непротиворечивости различных вариантов аксиоматич. теории М., пригодных для построения на их основе классич. математики.

    МНОЖЕСТВО — философская категория, рассматриваемая, как правило, совместно с категорией единого, а также одно из главных понятий математики, развитое на основании этих категорий.

    Платон вводит понятие множества, исходя из противопоставления единого и иного. Единое, по определению, не подразумевает ничего, кроме себя, т. е. не допускает никакого отношения и может быть мыслимо лишь само по себе. Иное же всегда есть иное по отношению к чему-то (также иному по отношению к нему). Следовательно, иное подразумевает множество. Однако множество невозможно мыслить, исключив представление о едином, поскольку в противном случае каждая его часть (элемент) не может быть рассмотрена как единство, а будет дробиться до бесконечности. Этот аргумент был впоследствии развит Проклом, который всякое множество рассматривал как причастное единому в двух отношениях: во-первых, как ограниченное целое, а во-вторых, как составленное из единичностей. Мысль о причастности множества единому он истолковал так, что всякое множество произведено от единого-в-себе, а единство является одновременно производящей мощью, которая уменьшается вместе с количественным ростом множества, поскольку последний означает уменьшение причастности единому. Важный аспект отношения единого и многого был рассмотрен Аристотелем, который среди других значений единства указал непрерывность. Непрерывное количество (величина) едино и противопоставляется раздельному количеству (см. число}, которое есть множество единиц. Попытка рассмотрения непрерывного количества как множества является грубой логической ошибкой, приводящей к апориям. Возникновение последних Аристотель объясняет именно неправомерным представлением единого (непрерывного) как множества — единого интервала времени как множества моментов или единого отрезка прямой как множества точек.

    Философия Нового времени не уделила понятию множества такого серьезного внимания, как античная. Кант ввел эту категорию в свою таблицу чистых понятий рассудка как одну из трех категорий количества (две другие — единство и цельность), но, рассматривая схемы количества, говорил уже не о множестве, а об экстенсивной величине. Последняя должна быть рассмотрена как цельность, формируемая последовательным прибавлением друг к другу множества частей.

    Дальнейший философский интерес к понятию множества обусловлен развитием множеств теории в математике. Именно с этой теорией был в значительной мере связан кризис оснований математики, потребовавший значительной переоценки не только содержания математического знания, но и его философских оснований.

    В качестве математической теории “учение о множествах” было создано Кантором, который, впрочем, рассматривал его не как одну из математических дисциплин, а как фундамент для всей математики. Из понятия множества предполагалось вывести все основные математические понятия, прежде всего понятие числа. В основе канторовского представления о множестве лежит аристотелевское определение сущности, т. е. того, что может выступать лишь как подлежащее предложения и о чем сказываются его свойства. Кантор рассматривает множество как класс предметов, наделенных общим свойством и ясно отличимых, на основании исключенного третьего закона, от всех других предметов, этим свойством не обладающих. Само множество также рассматривается как сущность и может объединяться в совокупность с другими множествами. Причем часто используемый Кантором прием формирования множеств состоит в выделении всех предметов, обладающих данным свойством. Этот прием вызвал в дальнейшем серьезные подозрения из-за того, что не указывает никакой конструктивной процедуры, а потому вводит в рассмотрение объекты, имеющие сомнительный онтологический статус. Для Кантора ясное указание свойства было достаточным основанием признать существующим и предмет, которому это свойство приписывается. Иными словами, свойство конституирует сущность, о которой сказывается. Но поскольку свойство отождествлено с множеством, всякое множество является конституирующим для своих элементов. Существование объекта всегда обусловлено его включением в множество. Поэтому Кантор строит бесконечную иерархию все более мощных множеств, последовательно включаемых одно в другое. Это явно противоречит идеям Прокла, который в наращивании множественности видел угасание производящей мощи и нарастание неопределенности (беспредельность). Завершением этой иерархии явилось “множество всех множеств, не являющихся собственным элементом”. Введенное так понятие содержит очевидное противоречие, однако способ его образования ничем не отличается от способов образования других понятий канторовской теории. Последнее обстоятельство поставило под подозрение все созданное Кантором учение о множествах, а заодно и значительную часть всей математики, поскольку остался неясен сам механизм появления противоречия.

    Еще одно введенное Кантором понятие, которое порождает трудности, — это понятие непрерывного множества. Важным результатом Кантора является теорема о том, что мощность любого множества всегда меньше мощности множества всех его подмножеств. В частности, множество всех подмножеств множества натуральных чисел превосходит последнее по мощности, т. е. является несчетным. Кантор доказал также существование взаимно-однозначного соответствия между этим несчетным множеством и множеством всех точек произвольного отрезка прямой или множеством всех действительных чисел, лежащих в заданном интервале. Такие множества Кантор назвал непрерывными, а их множество — континуумом. Хотя эти множества довольно прочно вошли во многие учебники, их использование нельзя считать полностью логически оправданным. Уже Аристотель считал рассмотрение непрерывной конфигурации как множества грубой ошибкой. К этому можно добавить, что если признать, напр., отрезок прямой состоящим из бесконечного числа отличимых друг от друга элементов, то невозможно представить никакого способа индивидуации этих элементов и их реального различения между собой, поскольку всякое множество имен или предложений языка может быть только счетным.

    Канторовский проект создания теории множеств как основания математики был позднее осуществлен Цермело, который создал аксиоматическую теорию множеств. В рамках этой теории действительно оказалось возможным дать определения основных понятий математики, исходя из понятия множества. Однако за подходом Цермело можно увидеть совершенно иные, нежели у Кантора, философские основания. Термины “множество” и “элемент множества” вводятся как неопределяемые, точнее, они определяются системой отношений, фиксированных в аксиомах. Последнее может значить, что они должны быть рассмотрены не как сущности, обладающие свойствами, а как неопределенные сами но себе объекты, обозначающие лишь места в заданной теорией абстрактной структуре.

    Лит.: Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985; Платой. Парменид.— Собр. соч. в четырех томах, т. 2, с. 346—412; Прокл. Первоосновы теологии.— В кн.: Лосев А. Ф. История античном эстетики. Высокая классика. М., 1974; Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966; Новосёловы. М. Абстракция множества и парадокс Рассела.— В кн.: Тр. научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН (1998). М., 1999.

    Г. Б. Гутнер