Akademik

        филос. категории, характеризующие как структуру материи, так и процесс её развития. Прерывность означает «зернистость», дискретность пространственно-временного строения и состояния материи, составляющих её элементов, видов и форм существования, процесса движения, развития. Она основывается на делимости и опре-дел. степени внутр. дифференцированности материи в её развитии, а также на относительно самостоят. существовании составляющих её устойчивых элементов, качественно определ. структур, напр. элементарных частиц, ядер, атомов, молекул, кристаллов, организмов, планет, общественноэкономич. формаций и т.д. Непрерывность, напротив, выражает единство, взаимосвязь и взаимообусловленность элементов, составляющих ту или иную систему. Непрерывность основывается на относит. устойчивости и неделимости объекта как качественно определённого целого. Именно единство частей целого и обеспечивает возможность самого факта существования и развития объекта как целого. Т. о., структура к.-л. предмета, процесса раскрывается как единство Н. и п. Напр., совр. физика показала, что свет одновременно обладает и волновыми (непрерывными) и корпускулярными (прерывными) свойствами. Прерывность обеспечивает возможность сложного, внутренне дифференцированного, разнородного строения вещей, явлений; «зернистость», отделёниость того или иного объекта составляет необходимое условие для того, чтобы элемент данной структуры выполнял определ. функцию в составе целого. Вместе с тем прерывность обусловливает возможность дополнения, а также замены и взаимозамены отд. элементов системы. Единство Н. и п. характеризует и процесс развития явлений. Непрерывность в развитии системы выражает её относит. устойчивость, пребывание в рамках данной меры. Прерывность же выражает переход системы в новое качество. Одностороннее подчёркивание только прерывности в развитии означает утверждение полного разрыва моментов и тем самым потерю связи. Признание только непрерывности в развитии ведёт к отрицанию к.-л. качеств. сдвигов и по существу к исчезнове-нию самого понятия развития. Для метафизич. способа мышления характерно обособление Н. и п. Диалектич. материализм подчёркивает не только противоположность, но и связь, единство Н. и п., что подтверждается всей историей науки и обществ. практики.

        Основы марксистско-ленинской философии, М., 19805.

    НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРЕРЫВНОСТЬ — категории, характеризующие бытие и мышление; прерывность (дискретность) описывает определенную структурность объекта, его “зернистость”, его внутреннюю “сложность”; непрерывность выражает целостный характер объекта, взаимосвязь и однородность его частей (элементов) и состояний. В силу этого категории непрерывности и прерывности являются взаимодополняющими при любом исчерпывающем описании объекта. Важную роль категории непрерывности и прерывности играют также при описании развития, где они превращаются соответственно в скачок и преемственность.

    В силу своей философской фундаментальности категории непрерывности и прерывности подробно обсуждаются уже в греческой античности. Факт движения связывает воедино проблемы непрерывности и прерывности пространства, времени и самого движения. В 5 в. до н. э. Зенон Элейский формулирует основные апории, связанные как с дискретной, так и с непрерывной моделями движения. Зенон показал, что континуум не может состоять из бесконечно малых неделимых (из точек), т. к. тогда величина бы складывалась из невеличин, из “нулей”, что непонятно, ни из конечных, имеющих величину неделимых, т. к. в этом случае, поскольку неделимых должно быть бесконечное множество (между любыми двумя точками найдется точка), это бесконечное множество конечных величин давало бы бесконечную величину. Проблема структуры континуума представляет собой тот проблемный узел, в котором неразрывно связаны категории непрерывности и прерывности. Причем то или иное понимание континуума в античности обычно истолковывается онтологически и соотносится с космологией.

    Античные атомисты (Демокрит, Левкипп, Лукреций и др.) стремятся мыслить всю сферу сущего как своеобразную смесь дискретных элементов (атомов). Но довольно быстро происходит разделение точек зрения физических атомистов, мыслящих атомы неделимыми конечными элементами, и математических атомистов, для которых неделимые не имеют величины (точки). Последний подход успешно использует, в частности, Архимед для нахождения площадей и кубатур тел, ограниченных кривыми и неплоскими поверхностями. Абстрактно математический и физикалнстский подходы еще не слишком рельефно разделены в античной мысли. Так, вопрос о природе треугольника, из которых в “Тимее” Платона складываются многогранники элементов, остается дискуссионным (проблема в том, чтоздесь из плоскостей складываются трехмерные элементы, т. е., вероятно, имеет место математический атомизм). Для Аристотеля непрерывное не может состоять из неделимых частей. Аристотель различает следующее по порядку, соприкасающееся и непрерывное. Каждое следующее в этом ряду оказывается спецификацией предыдущего. Существует следующее по порядку, но не соприкасающееся, напр. ряд натуральных чисел; соприкасающееся, но не непрерывное, напр. воздух над поверхностью воды. Для непрерывности необходимо, чтобы границы соприкасающихся совпадали. Для Аристотеля “все непрерывное делимо на части, всегда делимые” (Физика VI, 231Ь 15—17).

    Еще острее вопрос о природе континуума обсуждается в средневековой схоластике. Рассматривая его в онтологической плоскости, сторонники и противники континуальной космологии относят другую возможность истолкования в сферу субъективного, только мыслимого (или чувственного). Так, Генрих Гентский утверждал, что существует собственно лишь континуум, а все дискретное, и прежде всего число, получается “отрицанием”, через проведение границ в континууме. Николай из Отрекура, наоборот, считал, что хотя чувственно данный континуум и делим до бесконечности, в действительности же континуум состоит из бесконечного числа неделимых частей. Укреплению аристотелевского подхода к континууму служили дискуссии средневековых номиналистов (У. Оккам, Григорий из Римини, Ж. Буридан и др.). “Реалисты” понимали точку как онтологическую реальность, лежащую в основе всего сущего (Роберт Гроссетест).

    Традицию физического атомизма — “линию Демокрита” — подхватывает в 16 в. Дж. Бруно. Атомистика же Галилея в 17 в. носит явно математический характер (“линия Архимеда”). Тела у Галилея состоят из бесконечно малых атомов и бесконечно малых промежутков между ними, линии строятся из точек, поверхности — из линий и т. д. В философии зрелого Лейбница была дана оригинальная интерпретация соотношения непрерывности и прерывности. Лейбниц разводит непрерывность и прерывность по разным онтологическим сферам. Действительное бытие — дискретно и состоит из неделимых метафизических субстанций — монад. Мир монад не дан непосредственному чувственному восприятию и открывается только размышлением. Непрерывное же является Основной характеристикой лишь феноменального образа Универсума, т. к. он наличествует в представлении монады. В действительности части — “единицы бытия”, монады — предшествуют целому. В представлениях же, данных в модусе пространства и времени, целое предшествует частям, на которые это целое можно бесконечно делить. Мир непрерывного не есть мир действительного бытия, а мир лишь возможных отношений. Непрерывны пространство, время и движение. Более того, принцип непрерывности является одним из фундаментальных начал сущего. Лейбниц формулирует принцип непрерывности следующим образом: “Когда случаи (или данные) непрерывно приближаются друг к другу так, что наконец один переходит в другой, то необходимо, чтобы и в соответствующих следствиях или выводах (или в искомых) происходило то же самое” (Лейбниц Г. В. Соч. в 4т., т. 1. M., 1982, с. 203—204). Лейбниц показывает применение этого принципа в математике, физике, теоретической биологии, психологии. Проблему структуры континуума Лейбниц уподоблял проблеме свободы воли (“два лабиринта”). При обсуждении обоих мышление сталкивается с бесконечностью: в бесконечность уходит процесс нахождения общей меры для несоизмеримых отрезков (по алгоритму Евклида) и в бесконечность же простирается цепь детерминации лишь по видимости случайных (но на самом деле подчиняющихся совершенной божественной воле) истин факта. Лейбницевской онтологизации границы между непрерывностью и прерывностью не суждено было стать господствующей точкой зрения. Уже X. Вольф и его ученики опять начинают дискуссии о построении континуума из точек. Кант, полностью поддерживая лейбницевский тезис о феноменальности пространства и времени, строит тем не менее континуалистскую динамическую теорию материи. Последняя существенно повлияла на Шеллинга и Гегеля, которые также выдвигали ее против атомистических представлений.

    В русской философии на рубеже 19—20 вв. возникает противостояние “культу непрерывности”, связанное с именем математика и философа Н. В. Бугаева. Бугаев разработал систему миросозерцания, основанную на принципе разрывности как фундаментальном принципе мироздания ("аритмологияЛ В математике этому принципу соответствует теория разрывных функций, в философии — особый тип монадологии, развитый Бугаевым. Аритмологическое мировоззрение отрицает мир как сплошность, зависящую только от самой себя и постижимую в понятиях непрерывности и детерминизма. В мире есть свобода, откровение, творчество, разрывы непрерывности — как раз те “зияния”, которые отвергает принцип непрерывности Лейбница. В социологии аритмология в противовес “аналитическому мировоззрению”, видящему во всем только эволюцию, подчеркивает катастрофические аспекты исторического процесса: революции, перевороты в личной и общественной жизни. Вслед за Бугаевым подобные взгляды развивал П. А. Флоренский.

    НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРЕРЫВНОСТЬ В МАТЕМАТИКЕ.

    В силу большей, чем в современности, зависимости от онтологии математика античности не слишком отделяет свою точку зрения на непрерывность и прерывность от физики и математики. Дискретное — как число — и непрерывное — “величина” (т. е. континуальная пространственная величина) — мыслятся раздельно и несводимы одна к другой. Числом занимается арифметика, величинами — геометрия, и познавательный статус первой, согласно платоновско-пифагорейской традиции, выше, чем второй. Средневековье углубляет дискуссию о соотношении непрерывности и прерывности, вводя новые важные логические дистинкции (напр., категории синкатегорематической и категоруматической бесконечности, тесно связанные с проблемой деления континуума). С изобретением в 17 в. дифференциального и интегрального исчислений проблема арифметизации континуума становится все более насущной. Однако положительного решения ее пришлось ждать вплоть до 2-й пол. 19 в., когда появились арифметические конструкции действительного числа К. Вейерштрасса, Ш. Мере, Р. Дедекинда и Г. Кантора. Все эти конструкции существенно использовали актуальную бесконечность. Кантор попытался в рамках созданной им теории множеств оценить мощность арифметических моделей континуума. Мощность множества натуральных чисел (“счетного множества”) обозначалась им через Sg (“алеф” — первая буква древнееврейского алфавита). Тогда, согласно теоремам теории множеств, мощность арифметического континуума будет 2s0.

    Кантор выдвинул предположение (“континуум — гипотеза”), что мощность континуума является наименьшей из следующих за Ко мощностей, т. е.

    2s"=^

    Доказательство континуум-гипотезы означало бы, что континуум в некотором обобщенном смысле может быть “исчислен” или “сложен из точек”. Эту гипотезу, однако, не удалось доказать ни Кантору, ни его последователям. В 1963 П. Коэн показал, что континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута в теории множеств, опирающейся на систему аксиом Цермело—Френкеля.

    В более же широком смысле понятие непрерывности определяется в сегодняшней математике формально, в рамках топологии. Через аксиоматически вводимое понятие близости точек (“окрестность точки”) можно определить понятия предельного перехода и непрерывности функций. Т. о- возникают самые различные топологические пространства, моделирующие всевозможные типы непрерывности (включая и дискретную топологию). В то же время существует целый ряд нестандартных моделей континуума: конструкции Э. Л. Брауэра и Е Вейля в рамках интуиционистской математики, специальные модели в альтернативных (неканторовских) теориях множеств, в “нестандартном анализе” А. Робинсона.

    Взаимосоотнесенность свойств непрерывности и прерывности ярко проявилась в 20 в. в квантовой физике. Классические представления о движении частицы и волны пришлось заменить представлением о сосуществовании корпускулярных и волновых свойств в едином физическом объекте. Наряду с классическими представлениями о пространственно-временном континууме предпринимаются попытки квантования пространства и времени. В 1970-х гг. в связи с прогрессом компьютерной техники началась революция в методах обработки дискретной (“цифровой”) информации. Фантастически возрастающее быстродействие компьютера позволяет внедрять его в качестве узлового звена в сложные процессы современного управления производством, военными системами, образованием и т. д. Вместе с этим встают сложнейшие философские вопросы о границах человеческой ответственности, о допустимых пределах автоматизации, о природе мышления и человеческой сущности вообще. “Взрывное” развитие сегодняшней компьютерной техники заставляет говорить о начале новой “информационной цивилизации” и вновь ставит вопросы о соотношении дискретного и континуального в человеке и в природе вообще.

    Лит.: Дедекиид Р. Непрерывность и иррациональные числа. Одесса, 1923; Вейлъ Г. Математическое мышление. М., 1989; Кантор Г. Труды по теории множеств. М., 1985; ГейтингА. Интуиционизм. Введение. М., 1965; Зубов В. П. Развитие атомистических представлений до начала XIX века. М., 1965; Коэн П. Теория множеств и континуум-гипотеза. М-, 1973; Катасотв В. Н. Метафизическая математика XVII века. М., 1993; Breidert W. Das aristotelische Kontinuum in der Scholastik. Münster, 1970; DuhemP. Leonard de Vinci et les deux infinis.— Etudes sur Leonard de Vinci. P., 1909.

    B. H. KamacoHws