Akademik

        одно из осн. понятий методологии дедуктивных наук, связанное с особенностями и возможностями языковых средств описания и формализации, а также с аксиоматич. построением теорий. Различают О. синтаксическую и семантическую (см. Синтаксис и Семантика). Понятие синтаксически определимо в данной теорий, если на её языке можно записать явное (номинальное) определение этого понятия через др. понятия той же теории, причём такое, что его (определения) замыкание доказуемо в данной теории. Т. е. понятие синтаксически определимо, если возложен перевод содержащих это понятие выражений (аксиом, теорем) теории в дедуктивно эквивалентные выражения той же теории, в которых определимое понятие всюду замещено понятиями, его определяющими. Синтаксич. О. — это вопрос о связи понятий (терминов) теории, подобный вопросу о связи её утверждений по отношению выводимости. Поэтому теоретически важно иметь общий метод доказательства О. или её отрицания. Именно такой метод дают теоремы об О. Э. Бэта и В. Крейга, устанавливающие эквивалентность синтаксич. О. и некоторых ограничит. условий на характер моделей теории. Обе эти теоремы апеллируют к понятию семантич. О. (введено А. Тарским, 1933), которая относится к выразит. возможностям языка теории, к связи понятий (терминов) теории

        с действительностью. Семантич. О, означает «ото-бразимость» в теории объектов действительности (в т.ч. и абстракций — свойств, множеств, отношений и т. п.), свидетельствуя о наличии их «языковой модели». Понятие к.-л. содержательной области семантически определимо в теории, если найдётся формула (выражение), переводящая это понятие на язык теории (причём такая, что её замыкание выполнимо в указанной содержательной области). Про объекты области, семантически определимые в теории, говорят, что они определимы в этой области. Хотя синтаксич. и семантич. О. различны, их можно поставить в связь в метаязыке, полагая зависимость семантич. О. объекта в области от истинности синтаксич. определения этого объекта в той же области.

        Линдон Р., Заметки по логике, пер. с англ., М., 1968, с. 113—16; Клини С. К., Математич. логика, пер. с англ., М., 1973, с. 432—40; Садовский В. Н., Смиpнов В. А., Полная и неполная О. в теориях первого порядка, в кн.: Методы логич. анализа, М., 1977.

одно из осн. понятий методологии дедуктивных наук, связанное с особенностями и возможностями формализации. Различают обычно-синтаксическое (см. Синтаксис в логике) и семантическое (см. Семантика в логике) понятия О. Первое равносильно возможности (формального, синтаксического) определения одних исходных терминов (термов, знаков операций, предикатов и т.п.) к.-л. формализованной аксиоматич. теории через другие исходные термины той же теории, т.е. означает их взаимную зависимость (или же – в случае невозможности такого определения – взаимную независимость). [Т.о., связь терминов с т. зр. их взаимной (синтаксической) О. подобна связи между высказываниями с т. зр. их взаимной выводимости – в обоих случаях в рамках нек-рой данной формализации.] В случае я в н ы х определений синтаксич. О. к.-л. термина данной теории выражается посредством формулы (предложения), в ы в о д и м о й в данной теории (являющейся ее формальной теоремой) и имеющей вид эквивалентности, в к-рой по одну сторону знака эквиваленции записывается определяемый термин (definiendum) или выражение, содержащее этот термин, а по др. сторону – выражение этой же теории, определяющее (заменяющее) этот термин и не содержащее его (definiens). Если же речь идет о др. видах определений, то для строгой формулировки синтаксич. О. следует, конечно, оговорить допустимые для данной теории виды определений и определяющих схем; это относится, напр., к т.н. схемам рекурсии, используемым при рекурсивных определениях (см. в ст. Определение раздел Рекурсивные и индуктивные определения). [Такие уточнения обычно формулируются в терминах синонимов синтаксич. О. таких, напр., как введенное К. Гёделем понятие изобразимости в нек-рой формальной системе, или понятие т.н. λ-Ο. (А. Чёрч), являющихся при соответств. уточнениях эквивалентами понятия общей рекурсивности – см. Рекурсивные функции и предикаты.]

Семантическая О. означает "выразимость" (причем именно этот термин во мн. конкретных теориях употребляется в качестве синонима или замены термина "семантич. О.") средствами данной формальной теории тех предметов (в том числе и абстрактных: множеств, отношений, свойств и т.п.), к-рые с помощью этой теории изучаются (др. словами семантич. О. свидетельствует о существовании "языковой модели" для этих предметов). Напр., говорят, что-n-местное отношение R определимо в данной формальной теории Т, если на языке Τ можно записать такой n-местный предикат φ(x1 ..., xn) со свободными переменными x1, ..., xn, к-рый для произвольных предметов (термов) α1.., αn, взятых в нек-ром (произвольном) порядке, выполняется тогда и только тогда, когда между α1, ..., αn, взятыми в том же порядке, имеет место отношение R. Аналогично можно говорить об О. свойств и множеств (рассматриваемых как одноместные предикаты). Понятие семантич. О., введенное А. Тарским (1931) и обобщенное впоследствии А. Мостовским и самим Тарским, играет важную роль в семантике. Особенно плодотворным оказалось оно при выяснении возможностей определения предиката истинности (см. Логическая истинность) для конкретных формальных систем. Осн. результатом в этой области служит теорема Тарского об истинности, согласно к-рой для широкого класса непротиворечивых формальных систем (во всяком случае включающего формальную арифметику и аксиоматич. теорию множеств и вообще все теории, удовлетворяющие условиям теоремы К. Гёделя о неполноте – см. Полнота дедуктивная, Метатеория) понятие истинности предложения такой теории, так же как и множество всех ее истинных предложений, неопределимо в самой этой теории. Теорема эта, играющая важную роль в исследовании вопроса о взаимной силе (и относительной непротиворечивости) формальных систем, является следствием доказанной также Тарским теоремы о неопределимости, дающей общий метод построения широкого класса неопределимых выражений.

    ОПРЕДЕЛИМОСТЬ — понятие методологии дедуктивных наук, связанное с выразимостью в рамках некоторой формальной системы одних понятий через другие. Говоря об определимости, имеют в виду те условия, при которых можно считать, что значение того или иного термина полностью или частично определено некоторой совокупностью предложений. Т. к. имена и предметные функторы вьгразимы посредством соответствующих предикатов, то вопрос об определимости дескриптивных терминов может быть сведен к вопросу об определимости предикатов.

    Впервые вопрос об определимости был поднят в связи с рассмотрением отношения между Евклидовой и неевклидовыми геометриями в работах А. Падоа. В дальнейшем в четкой форме понятие определимости было введено А. Тарским. Большое значение для теории определимости сыграли интерполяционная теорема Крейга и теорема Э. Бета. В этих работах была показана тесная связь понятия определимости с понятием выводимости. В результате ряд важных проблем, относящихся к определимости, удалось свести к хорошо разработанным проблемам логического вывода.

    Различают синтаксическое и семантическое понятия явной и неявной определимости. Говорят, что в теории Т предикат Ρ(χι,..., Хц) явно синтаксически определим, если в языке, на котором сформулирована теория Т, найдется такая формула А(Х),..., х„), содержащая в точности переменные Χι,..., х„ и не содержащая предиката Р, что оказывается доказуемо следующее утверждение: Т |- VX[...Vx„ (Ρ(χι,.... х„) =А(Х], ..., Χη)). При тех же условиях говорят, что предикат Р(Х| ,..., Хп) явно семантически определим в теории Т, если семантически можно обосновать утверждение: VM (М ||= Т => М ||= УХ). Vx„(P(xi,..., Χη) =Α(Χ|,..., Хц)), т. е. каждая возможная реализация теории Т, являющаяся ее моделью, является моделью и для формулы VX]...VXn(P(Xi, ...,Хп)=А(Х), ...,Хц)).Дляпервопорядковой логики, в силу адекватности ее семантики и синтаксиса, эти два понятия оказываются эквивалентными. Понятие неявной синтаксической определимости задается следующим условием. Пусть Ρ'(χι,..., χ„) — п-местный пре

    дикат, не содержащийся в теории Т. Пусть далее Т будет теорией, образованной из теории Т, заменой в каждом предложении всех вхождений предиката Ρ(χι,..., Χη) на предикат Р'(Х],..., Хп). Тогда: предикат Р(Х|, .... Хп) неявно синтаксически определим в теории Т, если Т υ Т' |- Vx,... Ухд (Р(Х|, ..., χ„) = ρ'(χι,..., Хц)), т. е. в теории, которая является объединением двух теорий Т и Т', доказуемо утверждение об эквивалентности двух указанных предикатов. Наконец, предикат Ρ(χι,..., Χη) неявно семантически определим в теории Т, если любые две возможные реализации, которые приписывают одно и то же значение всем предикатам, отличным от предиката Р(Х|, ..., Хц), припишут одинаковые значения и самому предикату Ρ(χι,...,Χη).

    А. Падоа доказал метатеорему, согласно которой если предикат Р(Х[,..., Хп) явно семантически определим в теории, то он и неявно семантически определим в ней. Э. Бет доказал обратную теорему. Вообще, для первопорядковой логики показана эквивалентность всех указанных понятий определимости.

    В логической литературе кроме указанных рассматриваются и др. виды определимости. Их введение обусловлено типом определений, посредством которых в состав теории вводятся те или иные термины. К ним относятся явные и неявные условные определимости, а также более их общий случай — определимости по случаям. Последний вид определимости играет большую роль при определении операциональных (диспозиционных) терминов. Рассматриваются также различные виды неполной (частичной) определимости, играющие значительную роль при рассмотрении отношений между теоретическими терминами и терминами наблюдения в составе прикладных теорий — дизъюнктивная, условно-параметрическая и параметрическая определимость. Для всех них доказан аналог теоремы Э. Бета. Для случая контекстуального определения терминов рассматривается особый вид контекстуальной определимости.

    Часто в логике термин “определимость” употребляется еще в одном смысле, а именно — в смысле выразимости внелингвистических объектов (отношений, свойств, функций) средствами некоторого языка. Понятие определимости в этом смысле было введено А. Тарским и обобщено А. Мостовским. Именно с этим кругом понятий существенно связаны метатеоремы об ограниченности формализмов.

    Пусть К — непротиворечивый и замкнутый относительно выводимости класс формул языка L. Тогда ”-местное отношение R(xi, Х2,..., Хп) считается синтаксически К-определимым (выразимым) в языке L, если и только если в этом языке существует формула А, содержащая в точности η попарно различных переменных Χι, х;,..., Хп, удовлетворяющая условию: для любой й-ки объектов k], k^, ...,kn имеет место: 1. (R(ki, k2,...,kn)3A(Dk„Dk2,...,Dk„)e K), 2. (^R(k„ k2, ..„ kn) => -A(Dki, Dk;,...., Dkn) е К), где Dk; — терм, обозначающий объект kj. Формула А в этом случае называется К-определяющей я-местное отношение

    R(Xl, X2,...,X„).

    Если в некоторой теории класс общезначимых формул (истинных предложений) Тг непротиворечив и замкнут, то в качестве класса К может выступить класс Тг и мы получаем понятие семантической определимости (выразимости) п-местного отношения R(X|, х^,..., Хп).

    Пусть в некоторой теории класс теорем Т непротиворечив и замкнут. Тогда в случае К=Т мы получаем понятие рекурсивной определимости (Т-определимости). Формула А в этом случае рекурсивно определяет й-местное отношение R(xi, χ;,..., Хп). Понятия формальной дедуктивной системы и эффективно заданной операции оказываются, т. о., внутренне связанными. Язык выступает как подлинный аналитический метод, как механизм исследования конструирующих мыслительных процедур.

    Доказано, что если отношение R Т-определимо в достаточно богатой системе (напр., в формальной первопорядковой арифметике — Р), то оно общерекурсивно, и обратно. Понятие Т-определимости в Р является абсолютным в том смысле, что им охватываются все разрешимые предикаты и эффективно вычислимые функции. Поэтому для достаточно богатой системы (напр., той же системы Р) такие синтаксические понятия (понятия метаязыка), как “переменная”, “предложение”, “аксиома”, “формальное доказательство” и др. определимы в языке Р, т. е. синтаксические понятия теории выразимы в самой теории. Однако семантические понятия теории не могут быть описаны в языке теории (метатеорема Тарского).

    Введение понятия К-определимости дает своеобразный единый метод доказательства ограничительных метатеорем — теорем Тарского, Россера, Гёделя и позволяет вскрыть определенную внутреннюю связь теорем об ограниченностях формализмов.

    Лит.: Смирнов В. А. Логические методы анализа научного знания. М., 1987; Садовский В. Н., Смирнов В. А. Полная и неполная определимость в теориях первого порядка.— В кн.: Методы логического анализа. М., 1977; Смирнова Е.Д. Логика и философия. М., 1996; Beth T. W. The foundations of mathematics. Amst., 1959; Mostov/skiA. Sentences undecidable in formaliced arithmetic. An expozition of tne theory of Kurt Gцdel., 1952; MostowskiA. Graig interpolation theorem in some extended systems of logic.— Logic, methodology and philosophy f science. Amst., 1968.

    В. А. Бочаров, Е. Д. Смирнова