Akademik

(п е р е м е н н о е) – в классич. "высшей" математике (начиная с 17 в. – Ферма, Декарт, Ньютон, Лейбниц и др.) величина, могущая принимать в процессе своего изменения различные значения. Понятие П. в его первонач. формулировках явилось основой для всех др. понятий матем. анализа. Однако в дальнейшем (в ходе логич. обоснования анализа) все отчетливее проявлялась тенденция освободиться от нечетких ("внематематических") представлений о "процессах" и "изменении" каких бы то ни было "величин" и свести их к стационарным, "устойчивым" ("жестким") понятиям предметной области (областей) и П. как обозначению для произвольного элемента из рассматриваемой области предметов (родового имени). Этот т.н. теоретико-множеств. подход, при всех своих кажущихся достоинствах, естественности и простоте, на самом деле явился не столь уже простым, поскольку вместе с ним в математику была вовлечена абстракция актуальной бесконечности (во всех сколько-нибудь нетривиальных случаях П. "пробегают" бесконечные области), с к-рой связаны трудности принципиального характера (см., напр., Парадокс, Математическая бесконечность). В наст. время наблюдается известного рода "возвращение" к концепции "П. величины", связанное с принятием, в качестве основной, абстракции потенциальной осуществимости: П. понимается как потенциально бесконечная последовательность "значений", не связываемая, впрочем, ни с какой конкретной (или даже мыслимой) "шкалой времени". [Следует, однако, отметить, что в нек-рых совр. направлениях в основаниях математики и логики понятие п р о ц е с с а (в частности, процесса "изменения П.") играет полноправную – и даже центральную – роль.]

В исчислениях (формальных системах), рассматриваемых в математической логике, понятию П. – равно как и любым др. понятиям – не приписывается с а м о м у п о с е б е никакого "смысла": по определению, П. наз. символы строго фиксированного вида, могущие – по правилам образования и правилам вывода данного исчисления – заменяться, при определ. условиях, выражениями данного исчисления [примером чего могут служить правило переименования "связанных" П. в формулах логики и математики и спец. правила подстановки на места вхождений "свободных" П. (термов, предикатов, функций, формул – в зависимости от рода П.); подробнее об этом см. Квантор, Предикатов исчисление]. Т.о., П. можно содержательно понимать как "пустое место" в формуле, снабженное указанием, какого именно рода конкретные символы могут подставляться на это место; П. – это своего рода "тара под определенный товар". В зависимости от интерпретации элементов рассматриваемой предметной области (индивидные) П. наз. числовыми, множественными, функциональными и т.п. Такое словоупотребление коренится еще в привычном для классич. математики способе выражения: "П. число", "П. множество", "П. функция", подразумевающем "возможность изменения" рассматриваемой "величины". Фактически же, в соответствии с совр. трактовкой понятия П., во всех таких случаях имеется в виду "П. для чисел" (т.е. символ, вместо к-рого можно подставлять конкретные числа) и аналогично "П. для множеств", "П. для функций" и т.п.

Свободные вхождения П. в выражения содержательных науч. теорий (соответствующие употреблению неопредел. местоимений в разговорной речи) и соответственно в формулы формализованных логико-матем. языков допускают различные интерпретации. Формула A(x1,..., хn) к.-л. системы со свободными П. xl,..., хn может прежде всего интерпретироваться как нек-рый (n-местный) п р е д и к а т. Тогда говорят, что х1,..., хn обладают предикатной интерпретацией. Такова, в частности, интерпретация формул со свободными П. при формулировке правил образования системы (если вообще требовать в этом случае какой бы то ни было интерпретации формул). Формулы (или выражения неформализов. теорий) со свободными П. могут интерпретироваться также как п р е д л о ж е н и я. При этом свободным П. могут приписываться нек-рые значения, постоянные в пределах данной формулы или же нек-рой части рассматриваемого контекста. В первом случае (к-рый имеет место, напр., при формулировке аксиом к.-л. исчисления в виде формул со свободными П.) говорят, что имеет место интерпретация в с е о б щ н о с т и для свободных П. – формула A(xl,..., хn) интерпретируется как предложение, получаемое из нее замыканием всеобщности по всем свободным П. x1,..., хn, т.е. как ∀x1...∀xnA(x1,..., xn). В тех же случаях, когда свободным П. приписываются значения, постоянные (фиксированные) в пределах к.-л. контекста (напр., вывода из данной совокупности формул; такие П. обычно наз. параметрами, относящимися к данному контексту), говорят, что х1,..., хn имеют у с л о в н у ю интерпретацию в этом контексте. Примером предикатной интерпретации свободных П. может служить обычное понимание Π. x в выражении sinx, примером интерпретации всеобщности – ее же трактовка в тождественном равенстве sin²x+cos²x=l, условной интерпретации – интерпретация x в уравнении sinz=l (в процессе решения этого уравнения).

В содержат. матем. теориях термин "П.", как правило, отражает пришедшие из физики представления о "процессах изменения П. величин", но по существу ни одна из чисто математических (не говоря уже о логич.) теорий не нуждается в подобных представлениях. И именно в силу возможности принципиального устранения такого рода представлений фактически оно обычно не проводится, хотя использование понятия П. в любой из классич. матем. теорий может быть без труда проведено в рамках обрисованного выше логич. понимания.

См. также ст. Математика, Алгебра логики, Предикатов исчисление, Квантор и литературу при этих статьях.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, § 31, 32, 45; Черч Α., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, § 02, 04, 06.