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CINÉTIQUE

La cinétique, théorie partielle de la mécanique, fait appel aux notions de longueur, de temps et de masse. Elle est le prolongement de la cinématique, puisque son élaboration ne demande que l’introduction d’une nouvelle notion: celle de masse.

On pose comme postulat qu’en chaque point M du domaine de l’espace euclidien où se trouve un ensemble matériel il existe une densité scalaire de masse par unité de volume et l’on définit la masse d’un ensemble mécanique comme étant la somme des masses de ses constituants.

En mécanique classique, on admet par principe que, pour tout ensemble matériel que l’on suit dans son mouvement, la masse est invariante dans le temps. Pour certains ensembles mobiles assez complexes, tels que fusées, câbles de puits d’extraction, etc., il arrive qu’on utilise de manière impropre le terme «systèmes à masses variables»; cela ne signifie nullement que pour de tels ensembles le principe de conservation de la masse soit en défaut, mais cette appellation provient du fait qu’à deux instants on ne met pas en jeu exactement le même système, c’est-à-dire qu’on ne suit pas le système dans son mouvement.

Les entités fondamentales en cinétique sont le centre d’inertie , ou centre de masse, et l’opérateur d’inertie en un point, ainsi que le torseur cinétique , le torseur dynamique , et l’énergie cinétique . La cinétique, indépendamment des renseignements qu’elle fournit sur la répartition de la matière dans un ensemble physique, introduit des grandeurs qui sont systématiquement utilisées dans les applications des principes généraux de la dynamique et de la statique des ensembles matériels quelconques.

Notion de masse

Pour construire la cinétique, il faut, aux notions de longueur et de temps, introduites en cinématique, adjoindre la notion de masse, grandeur fondamentale indépendante des deux précédentes.

Les objets qui nous entourent constituent des ensembles matériels dont nous avons la notion intuitive. On posera comme postulat qu’en chaque point M du domaine de l’espace euclidien occupé par un ensemble matériel existe une densité scalaire de masse 福(M). Si D représente le domaine de l’espace occupé par l’ensemble matériel , la masse est définie de façon abstraite comme une mesure complètement additive définie sur D. La masse de l’ensemble matériel que l’on désigne par m ( ) ou plus simplement par m est par définition:

Cette intégrale est, comme beaucoup de celles qui ont été introduites par la suite, une intégrale au sens de Stieltjes: d 靖 est un élément de volume si D est un volume et l’intégrale est triple; d 靖 est un élément d’aire si D est à deux dimensions (plaque dont on néglige l’épaisseur) et l’intégrale est double; enfin d 靖 est un élément de longueur si D n’a qu’une dimension (tige dont on néglige les dimensions transversales) et l’intégrale est simple. La masse du volume élémentaire (au sens large) qui entoure le point M étant représentée par 福(M)d 靖(M) = dm (M), la masse m s’exprime par la relation:

Si le domaine D est vide de matière, on désigne l’ensemble par 0 et m (0) = 0. Si on fait une partition de quelconque en deux sous-ensembles matériels disjoints, ¹ et ², on a alors m ( ) = m ( ¹) + m ( ²).

Dans le système international, l’unité de masse est le kilogramme-masse. Les différentes grandeurs introduites en mécanique classique sont des grandeurs dérivées qui s’expriment en fonction des trois grandeurs fondamentales: longueur, temps, masse.

En mécanique classique, on admet que, quel que soit l’ensemble matériel considéré et quel que soit son mouvement, la masse de ce système est invariante au cours du temps (principe de la conservation de la masse), ce qui conduit à des relations du genre:

auxquelles on a souvent recours en mécanique et que nous utiliserons par la suite sans les rappeler.

Centre d’inertie d’un ensemble matériel

Soit un domaine D de l’espace ordinaire sur lequel est défini en tout point M une mesure 猪(M) et un vecteur み(M); considérer み(M) comme étant la densité d’un champ par rapport à la mesure 猪(M), c’est dire qu’au voisinage de M on associe le vecteur み(M) d 猪(M). À un tel champ vectoriel on associe un torseur 淪( み, 猪), dont les éléments de réduction en un point P sont:

On constate immédiatement que le champ ぬ^P vérifie la relation des champs de moment de torseur.

Si le champ み(M) est égal à g (M) ゎ ( ゎ est un vecteur indépendant de M, le champ de vecteurs み(M) est un champ de vecteurs parallèles), alors, quelle que soit la mesure 猪, le torseur associé est un torseurvecteur, car le produit scalaire de れ et de ぬ^P est nul.

De plus, si g (M) = 1 (champ み(M) uniforme), il existe un point H tel que, si 咽M 捻D d 猪(M) n’est pas nulle:

Le point H, ainsi défini indépendant de ゎ, est appelé centre de mesure du domaine D, relatif à la mesure 猪 considérée.

Dans le cas où la mesure 猪(M) est la masse m (M), le centre de mesure de l’ensemble matériel prend le nom de centre d’inertie G, qui se trouve défini par:

ou par la relation équivalente:

Si, par rapport au temps, dans un repère quelconque (), l’on dérive l’égalité vectorielle (1), on obtient immédiatement:

puis, en la dérivant une seconde fois:

relations dans lesquelles ⁽ size=1^凞)(G) et ど⁽ size=1^凞)(G) désignent respectivement la vitesse et l’accélération du point G dans son mouvement par rapport au même repère ().