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Polynom

 

[zu lateinisch nomen »Name«] das, -s/-e, Mathematik: allgemein ein aus (reellen oder komplexen) Konstanten a_ij...r, den Koeffizienten des Polynoms, und Variablen x₁, x₂,.. ., x_l gebildeter Ausdruck

 

hierin ist i + j +.. . + r der Grad des Gliedes a_ij...r xⁱ₁ x^j₂.. . x^r_l; der größte dieser Grade wird als Grad des Polynoms bezeichnet. Ist für alle auftretenden Glieder i + j +.. . + r = N = const., so spricht man von einem homogenen Polynom oder einer Form vom Grad N, speziell im Fall N = 1 von einer Linearform (a₁x₁ + a₂x₂ +.. . + a_nx_n), im Fall N = 2 von einer quadratischen Form, im Fall N = 3 von einer kubischen Form. Ein Polynom vom Grad n in einer Variablen x hat die Gestalt

 

mit a_n ≠ 0; sind die Koeffizienten ganze Zahlen, so spricht man von einem ganzzahligen Polynom; a₀ wird auch absolutes Glied genannt. Ein Polynom in einer oder mehreren Unbestimmten lässt sich stets als Funktion der entsprechenden Anzahl von Variablen auffassen; deshalb spricht man auch von (Polynomfunktionen).

 

Ein Polynom in einer Variablen mit reellen oder komplexen Koeffizienten a_i besitzt nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau n (nicht notwendig verschieden) komplexe Nullstellen α_ν (ν = 1, 2,.. ., n); es lässt sich in der Gestalt

 

darstellen (Zerlegung in Linearfaktoren). - Als zulässige Koeffizienten kann man die Elemente verschiedener Körper vereinbaren (z. B. den Körper der rationalen Zahlen). Man spricht dann z. B. von einem über einem Körper reduziblen (zerlegbaren) Polynom, wenn sich das fragliche Polynom in ein Produkt aus Polynomen niedrigeren Grades mit Koeffizienten aus demselben Körper zerlegen lässt; im anderen Fall spricht man von einem irreduziblen (unzerlegbaren) Polynom. Die Polynome über einem Körper bilden einen Polynomring.