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Mathematik

 

[lateinisch (ars) mathematica, von griechisch mathēmatike̅́ (téchnē), zu máthēma »Gelerntes«] die, -, eine der ältesten Wissenschaften, hervorgegangen aus den Aufgaben des Zählens, Rechnens und Messens, der praktische (v. a. naturwissenschaftliche und technische) Fragestellungen zugrunde lagen, zu deren Behandlung ursprünglich Zahlen und geometrische Figuren sowie ihre wechselseitigen Verknüpfungen herangezogen wurden. Dabei entwickelten sich der Zahlbegriff und die elementargeometrischen Begriffe. Bis heute erhält die Mathematik starke Impulse aus dem Versuch, mit mathematischen Mitteln zur Beschreibung naturwissenschaftlicher, ökonomischer u. a. Vorgänge beizutragen. Der Aufgabenbereich der Mathematik wurde mit der Abstrahierung von der ursprünglichen Bedeutung der untersuchten Objekte wesentlich erweitert und führte zu einer »Wissenschaft von den formalen Systemen« (D. Hilbert). Danach versteht man unter der modernen Mathematik die Wissenschaft von den abstrakten Strukturen und logischen Folgerungen, die durch Festlegung von wenigen Grundannahmen über Relationen und Verknüpfungen zwischen Elementen einer Menge beliebiger Größen bestimmt werden. Zu ihren wesentlichen Aufgaben gehört das Aufstellen allgemeinster, widerspruchsfreier Beziehungen zwischen diesen Größen, aus denen sich auf rein logischem Weg Folgerungen in Form von Aussagen (Sätzen) ergeben (Axiom). Die Mathematik ist gekennzeichnet durch eine hohe Präzision ihres Begriffssystems, Strenge ihrer Beweismethoden und einen stark deduktiven Charakter ihrer Darlegung.

 

Entsprechend der Vielfalt ihrer Anwendungsgebiete unterteilt man die Mathematik in eine große Zahl von Zweigen, deren klare Abgrenzung voneinander schwierig ist. Nach traditioneller Einteilung gliederte sich die Mathematik in die reine Mathematik, wie Arithmetik, Geometrie, Algebra und Analysis und in die angewandte Mathematik. Die moderne Mathematik durchbricht diese Gliederungen und überbrückt deren Grenzen mit zahlreichen anwendungsorientierten Spezialgebieten, wie Funktionalanalysis, Kombinatorik, Mengenlehre, Topologie, Optimierung, Stochastik oder Komplexitätstheorie und Algorithmentheorie. - Seit den 1980er-Jahren entwickelt sich zunehmend auch eine experimentelle Mathematik, in der einer theoretischen Lösung (noch) nicht zugängliche Probleme für Einzelfälle berechnet und daraus allgemeine Hypothesen abgeleitet werden. - Viele Probleme können heute nur durch das Zusammenwirken verschiedener Gebiete gelöst werden. So lassen sich z. B. durch die Verwendung von Computern Probleme behandeln, die früher wegen des zeitlichen Aufwandes oder wegen ihrer Komplexität nicht zugänglich waren (z. B. die Berechnung von Raketenbahnen und Strömungsprofilen). Der Einsatz von Rechnern hat die Entwicklung neuer Gebiete (wie Fraktalgeometrie, Chaostheorie) ermöglicht und zu neuartigen Beweismethoden geführt (Vierfarbenproblem). Im Zusammenhang mit der Informatik haben auch die mathematische Logik und ihre Methoden verstärkt Beachtung gefunden.

 

Bei der Entwicklung der Mathematik als Wissenschaft wurden zuerst gewisse Eigenschaften von Zahlen und geometrischen Figuren als grundlegend angenommen und danach Gesetzmäßigkeiten erarbeitet, wie Rechenregeln (z. B. Addition und Multiplikation), Verfahren zur Lösung von linearen und quadratischen Gleichungen oder Gleichungssystemen (z. B. zur Bestimmung astronomischer Größen), Gesetze für einfache geometrische Figuren wie Dreiecke und reguläre Vielecke (z. B. pythagoreischer Lehrsatz) und Ähnlichkeitssätze. Dies war in Babylonien im 4. Jahrhundert v. Chr. bereits bekannt. Für die Arithmetik war besonders wichtig, dass die Zahlen in einem System zur Basis 60 dargestellt wurden. Euklid stellte um 325 v. Chr. die damals bekannten mathematischen Ergebnisse der Griechen in seinem Werk »Die Elemente« zusammen, das er mit eigenen Sätzen und Beweisen bereicherte. Dieses Werk lieferte für Jahrhunderte das herausragende Beispiel für eine systematische und lückenlose Darstellung der Mathematik als axiomatisch-deduktiv strukturierte Wissenschaft. Offene mathematische Fragen werden dagegen im Allgemeinen folgendermaßen behandelt: Ausgehend von bekannten Methoden und Ergebnissen werden neue Begriffe und Methoden entwickelt, um damit Sätze zu gewinnen, die das vorgegebene Problem lösen oder besser verstehen lehren. Die Vorgehensweise der Mathematik wird mit formalen Mitteln in der mathematischen Logik untersucht, während Philosophie und Geschichte sich der Mathematik unter begrifflichem und historischem Aspekt widmen.

 

Beispiele von Entwicklungen in der Algebra und Analysis sollen methodische Grundtendenzen der heutigen Mathematik verdeutlichen:

 

In Babylonien war um 400 v. Chr. ein Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen bekannt. G. Cardano (1545) u. a. lösten Gleichungen 3. und 4. Grades mithilfe von Wurzeln. C. F. Gauss bewies Ende des 18. Jahrhunderts, dass jede algebraische Gleichung mit reellen Koeffizienten eine Lösung durch komplexe Zahlen besitzt. N. H. Abel zeigte Anfang des 19. Jahrhunderts, dass nicht jede Gleichung 5. Grades mithilfe von Wurzeln gelöst werden kann. É. Galois betrachtete statt der Gleichung eine Körpererweiterung des Grundkörpers, aus dem die Koeffizienten stammen. Dieser Körpererweiterung entspricht eine Gruppe (Galois-Gruppe), deren Eigenschaften angeben, wann die ursprüngliche Gleichung durch Wurzeln lösbar ist und wann nicht. - In dieser Behandlungsweise sind zwei wesentliche methodische Gesichtspunkte heutiger Mathematik enthalten: 1) Zur Behandlung einer konkreten Frage wird ein abstraktes Objekt (hier ein Körper) herangezogen; 2) dem zu untersuchenden Objekt (die Körpererweiterung) wird ein anderes mathematisches Objekt (die Galois-Gruppe) mit dem Ziel zugeordnet, dass dieses besser zu untersuchen ist. Resultate über das zugeordnete Objekt versucht man auf das Ausgangsobjekt zu übertragen. - Im weiteren Verlauf stieß man auf Bereiche, deren algebraische Gesetzmäßigkeiten als Verallgemeinerungen von denen der rationalen oder reellen Zahlen angesehen werden können. Daraus abstrahierte man den allgemeinen Begriff des Körpers (R. Dedekind, 1871). Neben der Verwendung in der Galois-Theorie traten immer wieder Strukturen auf, die eine assoziative Verknüpfung, ein neutrales Element und für jedes Element ein inverses besitzen, Gesetzmäßigkeiten, die man zum Begriff der Gruppe zusammenfasste. Die Bildung solcher übersichtlicher mathematischer Strukturen als Abstraktion vieler konkreter Situationen zielt darauf ab, die wesentlichen Gesetzmäßigkeiten und Beziehungen besser verstehen und neue Methoden und Begriffe entwickeln zu können.

 

Schon in antiker Zeit wurden spezielle Kurven (Kegelschnitte, Quadratrix) betrachtet. Allgemein konnten Fragen nach Gestalt und Verlauf von Kurven jedoch erst mithilfe der analytischen Geometrie R. Descartes' behandelt werden. Entscheidend beeinflusst wurde die Mathematik durch die von I. Newton und G. W. Leibniz unabhängig voneinander im 17. Jahrhundert geschaffene Differenzial- und Integralrechnung, die heute meist als Analysis bezeichnet wird. Einerseits ermöglichten die Begriffe der Analysis die Behandlung vieler Funktionen, andererseits stellten die Differenziations- und Integrationsregeln Verfahren im Umgang mit diesen bereit. Damals waren die heute zentralen Begriffe Funktion und Grenzwert noch nicht präzisiert. Ihre exakte Bedeutung wurde besonders durch Anstöße, die sich im Verlauf der Weiterentwicklung der Analysis ergaben, herausgearbeitet. Ähnlich wie in der Algebra werden heute in der Analysis viele Untersuchungen mithilfe abstrakter Strukturen (Funktionalanalysis) zusammengefasst, deren Grundlagen die Vektorraumstruktur (Vektorraum) und der Begriff der Norm sind.

 

 Geschichte

 

Höhepunkte der griechischen Mathematik sind die »Elemente« Euklids und die Untersuchungen von Archimedes, des Apollonios von Perge sowie die Arithmetik des Diophantos von Alexandria. Ägypter und Römer haben wenig zur Entwicklung der Mathematik als Wissenschaft beigetragen. Die von den Indern frühzeitig benutzte Dezimaldarstellung der Zahlen, insbesondere die Ziffer Null, wurde erst spät in Europa, vermittelt durch die Araber, bekannt und aufgegriffen. Im Mittelalter haben v. a. die Araber die Mathematik durch die Weiterentwicklung von Rechentechniken sowie durch den Ausbau des euklidischen Erbes gefördert. Außerdem wurden durch sie viele Ergebnisse der babylonischen und griechischen Mathematik in Europa bekannt. Von der Renaissance bis zum Ende des 19. Jahrhunderts hat sich die Mathematik v. a. in Europa entwickelt, seitdem in fast allen Teilen der Welt. In der Renaissance entwickelte sich v. a. die Algebra weiter; Regiomontanus stellte die Trigonometrie dar. Um die Wende des 16. zum 17. Jahrhundert schuf G. Galilei die heutige naturwissenschaftliche Methode mit der Verwendung der Mathematik, im 17. Jahrhundert entwickelten Descartes und P. de Fermat die analytische Geometrie. Die Arbeiten von Newton und Leibniz führten zu einer prinzipiell neuen Methode in der Mathematik, die auch bei der Bearbeitung außermathematischer - überwiegend physikalischer - Fragestellungen mit Erfolg herangezogen wurde. Im 18. Jahrhundert entwickelte sich neben der Algebra, Zahlentheorie und Geometrie v. a. die Analysis, besonders durch L. Euler und J. L. de Lagrange. Im 19. Jahrhundert legte Gauss die Grundlagen der heutigen Algebra, Differenzialgeometrie und Zahlentheorie. A. L. Cauchy fasste den Grenzwertbegriff und förderte die Funktionentheorie. Die Entdeckung der nichteuklidischen Geometrie durch N. I. Lobatschewskij und J. Bolyai zeigte, dass das Parallelenaxiom von den anderen Axiomen der euklidischen Geometrie unabhängig ist, wodurch die Beschäftigung mit methodologischen Fragen der Axiomatik stark angeregt wurde. Diese fand einen ersten Abschluss in D. Hilberts »Grundlagen der Geometrie« (1899). Für viele Gebiete wurden im 19. Jahrhundert die Fundamente der heutigen Mathematik gelegt: z. B. durch B. Riemann zur Geometrie, durch ihn und K. Weierstrass zur Funktionentheorie, durch Galois zur Algebra, durch Abel und C. G. J. Jacobi zur Theorie der algebraischen Funktionen, durch A. F. Möbius, C. von Staudt, J. Plücker zur synthetischen (projektiven) Geometrie, durch A. Cayley, J. J. Sylvester zur algebraischen Geometrie. Ende des 19. Jahrhunderts legte H. Poincaré den Grundstein für die algebraische Topologie und die qualitative Behandlung von Differenzialgleichungen. Die Entwicklung der Mengenlehre durch G. Cantor hat nicht nur Analysis und (mengentheoretische) Topologie beeinflusst, sondern zu kritischen Untersuchungen der Grundlagen der Mathematik geführt. Die Weiterentwicklung über das 19. Jahrhundert hinaus ist v. a. durch das Zusammenwirken verschiedener Disziplinen bei der Erarbeitung neuer Gebiete und Behandlung konkreter Probleme charakterisiert. Die Topologie entwickelte sich zu einer »Mutterstruktur«. Die Analysis wurde stark durch die Einführung von Methoden der Maßtheorie (H. Lebesgue) beeinflusst, die auch eine wichtige Grundlage für die (von A. N. Kolmogorow axiomatisch fundierte) Wahrscheinlichkeitstheorie geworden sind. Disziplinübergreifend hat die Kategorientheorie die fundamentale Rolle strukturgerechter Abbildungen zwischen mathematischen Objekten bewusst gemacht. In der mathematischen Grundlagenforschung des 20. Jahrhunderts sind die Ergebnisse der mathematischen Logik (v. a. der gödelsche Unvollständigkeitssatz) von großer Wichtigkeit. Daneben spielt, motiviert durch die Kritik des Intuitionismus, die Suche nach sicheren Fundamenten der Mathematik (Formalismus, Logizismus) eine wichtige Rolle. Sehr einflussreich wurde der Versuch (ab 1939) der Gruppe Bourbaki, der Mathematik eine einheitliche, mengentheoretisch orientierte Sprache auf strukturalistischem Hintergrund zu geben. Eine Auswirkung war die neue Mathematik. Seit den 1980er-Jahren vollzieht sich auch wieder - nicht zuletzt wegen der durch den Computer eröffneten Möglichkeiten - eine Rückwendung zur rechnerischen Behandlung eher konkreter Fragestellungen.

 

Weitere Informationen zu diesem Thema finden Sie v. a. auch in den folgenden Artikeln:

 

ägyptische Kultur · babylonische Kultur · byzantinische Kultur · chinesische Mathematik · griechische Mathematik · indische Mathematik · Maya

 

Literatur:

 

J. Tropfke: Gesch. der Elementar-M. in systemat. Darstellung, mit besonderer Berücksichtigung der Fachwörter, 7 Bde. (^2-41923-80);

 H. L. Resnikoff u. R. O. Wells: M. im Wandel der Kulturen (a. d. Engl., 1983);

 

A source book in mathematics. 1200-1800, hg. v. D. J. Struik (Neuausg. Princeton, N. J., 1986);

 N. Bourbaki: Elements of mathematics, auf zahlr. Bde. ber. (a. d. Frz., Neuausg. Berlin 1987 ff.);

 K. Volkert: Gesch. der Analysis (1988);

 

Höhere M. Einf. für Studierende u. zum Selbststudium, bearb. v. H. von Mangoldt u. K. Knopp, 4 Bde. (^4-171990);

 

Lex. bedeutender Mathematiker, hg. v. S. Gottwald u. a. (Neuausg. Thun (Deutsch) 1991);

 H. Gericke: M. in Antike u. Orient (Neuausg. 1992);

 

Zahlen, bearb. v. H.-D. Ebbinghaus u. a. (³1992);

 B. L. van der Waerden: Algebra, 2 Bde. (^6-91993);

 G. Hämmerlin u. K.-H. Hoffmann: Numerische M. (⁴1994);

 F. Reinhardt u. H. Soeder: dtv-Atlas zur M., 2 Bde. (^9-10 1994).

 

Hier finden Sie in Überblicksartikeln weiterführende Informationen:

 

Naturwissenschaft und Technik: Ein neues Weltbild setzt sich durch

 

Mathematik: Struktur- und Erkenntnismittel in Natur und Kunst Altgriechenlands