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Zufallsvariable,

 

Zufallsgröße, Stochastik: eine Funktion auf der Ergebnismenge Ω eines Wahrscheinlichkeitsraums (Ω,, P ; Wahrscheinlichkeitstheorie). Zufallsvariablen sind das mathematische Modell zur Beschreibung von statistischen Merkmalen. Sie dienen v. a. dazu, komplexe Beziehungen zwischen Ereignissen durch einfachere (oft algebraische) Beziehungen zwischen Zufallsvariablen darzustellen und dies zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen auszunutzen. So kann z. B. beim Zufallsversuch »zweimaliges Werfen eines idealen Würfels« das Ereignis A »die Augensumme ist gleich 5« mit den beiden unabhängigen Zufallsvariablen X = »Augenzahl des ersten Wurfes« und Y = »Augenzahl des zweiten Wurfes« als A = [X + Y = 5] = ([X = i ] ∩ [Y = 5 — i ]) dargestellt werden. Dies ergibt (nach dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) den Wert P (A) = =. Für diese u. a. Rechnungen benötigt man die explizite Form der Ergebnismenge Ω und der Zufallsvariablen nicht (im vorliegenden Fall wäre Ω = {(1, 1), (1, 2),.. ., (6, 6)} und X (i, j ) = i, Y (i, j ) = j). Weitere Beispiele für Zufallsvariablen sind die Anzahl der in einem bestimmten Zeitintervall zerfallenden Atome einer radioaktiven Substanz und der Zeitpunkt des Ausfalls eines Geräts, das aus mehreren Komponenten mit zufälligen Lebensdauern besteht. In der Statistik sind die Stichprobenvariablen als Zufallsvariablen von grundlegender Bedeutung.

 

Jede der Zahlen X (ω), ω ∈ Ω, heißt eine Realisation der Zufallsvariable X. Eine Zufallsvariable heißt stetig beziehungsweise diskret, wenn sie eine Dichte beziehungsweise eine diskrete Dichte besitzt. Durch eine Zufallsvariable X können alle diejenigen Ereignisse A ∈ dargestellt werden, bei denen X Werte in einer borelschen Teilmenge B von ℝ annimmt (Verteilung). Man schreibt dann A = {ω ∈ Ω / X (ω) ∈ B} = [X ∈ B]. Damit dann für alle solchen Ereignisse A die Wahrscheinlichkeit P (A) = P ([X ∈ B]) definiert ist, muss X messbar sein in dem Sinne, dass für jede borelsche Menge B die Menge [X ∈ B] zu der σ-Algebra gehört (Maßtheorie). Diese Forderung ist für die Praxis keine Einschränkung, und sie entfällt bei abzählbarem Ω. Die Funktion B → P ([X ∈ B]) heißt die Verteilung der Zufallsvariablen X. Weitere wichtige durch eine Zufallsvariable X definierte Größen sind z. B. die Verteilungsfunktion F_X von X und der Erwartungswert E (X) von X.

 

Mehrere Zufallsvariablen X₁, X₂,.. ., X_n werden zu einem Zufallsvektor (oder einer n-dimensionalen Zufallsvariable) X zusammengefasst; er stellt eine Abbildung von Ω in den ℝⁿ dar. Bei stochastischen Prozessen betrachtet man Zufallsvariable X mit Werten in einer beliebigen Menge Ω ', die mit einer σ-Algebra ' versehen ist. Dabei muss X messbar sein in dem Sinn, dass für jede Menge B' ∈ ' die Menge [X ∈ B ' ] zu gehört.