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topologischer Raum,

 

ein Paar (X, T ), bestehend aus einer Menge X und einer topologischen Struktur T auf X, d. h. einer Teilmenge T der Potenzmenge von X, die invariant gegenüber beliebigen Vereinigungen und endlichen Durchschnitten ihrer Elemente ist sowie X und die leere Menge enthält. Die Mengen aus T heißen offene Mengen und ihre Komplementärmengen abgeschlossene Mengen des topologischen Raums. Eine Teilmenge U von X heißt Umgebung des Punktes p aus X, falls p in einer in U enthaltenen offenen Menge liegt. Auch andere Teilmengen der Potenzmenge von X induzieren eine topologische Struktur auf X. Ist bezogen auf eine Menge von Umgebungsfiltern F (p) (Filter) aller Punkte p aus X eine Teilmenge als offen definiert, falls sie für jedes ihrer Elemente p eine Menge aus F (p) enthält, so ist damit eine topologische Struktur auf X definiert, deren Umgebungen genau die Elemente dieser Umgebungsfilter sind. In diesem Sinne sind die Topologien der in der Funktionalanalysis häufig auftretenden metrischen Räume und uniformen Räume definiert. Ist beispielsweise (X, d ) ein metrischer Raum, d. h. X eine Menge und d eine Metrik auf X, so ist für jeden Punkt p aus X F (p) : {O X / es existiert ε > 0, sodass U_ε (p) O }, wobei U_ε (p) : {t ∈ X / d (p, t) ε }, ein Umgebungsfilter von p und bezüglich der (von der Metrik d ) im obigen Sinne induzierten Topologie auch die Menge aller Umgebungen von p. Aus topologischen Räumen können neue topologische Räume gebildet werden: Ist (X, T ) ein topologischer Raum und gilt Y X, so heißt die topologische Struktur U : {O ∩ Y / O ∈ T } auf Y die Spurtopologie auf Y und (Y, U ) ein Unterraum von (X, T ), und ist (X_i, T_i)_{i ∈ I} eine Familie von topologischen Räumen, so bilden alle Teilmengen des kartesischen Produkts, die sich als Vereinigung von Mengen der Form darstellen lassen, wobei O_i ∈ T_i und O_i = X_i bis auf endlich viele i ∈ I, die Produkttopologie auf.

 

Zwischen den allgemeinen topologischen Räumen und den metrischen Räumen stehen bezüglich ihrer Struktur die T-Räume. Ein topologischer Raum (X, T ) ist ein T₀-Raum, falls zu Punkten p ≠ t entweder eine Umgebung U von p existiert, sodass t ∉ U oder eine Umgebung V von t existiert, sodass p ∉ V, er ist ein T₁-Raum, falls zu Punkten p ≠ t Umgebungen U von p und V von t existieren, sodass t ∉ U und p ∉ V, ein T₂-Raum oder hausdorffscher Raum, falls zu je zwei verschiedenen Punkten disjunkte Umgebungen existieren, T₃-Raum, falls zu jedem p ∈ X und jeder abgeschlossenen Teilmenge A von X mit p ∉ A disjunkte Umgebungen existieren, ein T_{3 a}-Raum, falls zu jedem p ∈ X und jeder abgeschlossenen Teilmenge A von X mit p ∉ A eine stetige Funktion f : X → [0, 1] existiert, sodass f (p) = 1 und f (A) = {0}, ein T₄-Raum, falls disjunkte abgeschlossene Teilmengen von X disjunkte Umgebungen besitzen. Ein topologischer Raum heißt regulär, vollständig regulär beziehungsweise normal, falls er ein hausdorffscher Raum und ein T₃-, T_{3 a}- beziehungsweise T₄-Raum ist. Jeder normale topologische Raum ist vollständig regulär, jeder vollständig reguläre topologische Raum ist regulär, jeder hausdorffsche Raum ist T₁-Raum, jeder T₁-Raum auch T₀-Raum, und die topologischen Struktur eines topologischen Raums wird genau dann von einer uniformen Struktur beziehungsweise von einer Metrik induziert, wenn er ein T_{3 a}-Raum beziehungsweise ein vollständig regulärer topologischer Raum ist, dessen offene Mengen sich als Vereinigungen aus den Elementen einer abzählbaren Familie offener Mengen darstellen lassen. Die charakterisierenden Eigenschaften der T-Räume sind homöomorphieinvariant; ein metrischer Raum ist normal, besitzt also alle Trennungseigenschaften (Trennungsaxiome). Andere wichtige topologische Räume sind durch Überdeckungseigenschaften charakterisiert. Beispielsweise heißt ein hausdorffscher Raum (X, T ) kompakt, falls zu jeder Teilmenge M := {O_i / i ∈ I } von T mit der Eigenschaft

 

eine endliche Teilmenge { / 1 ≤ j ≤ n } von M existiert, sodass

 

Die topologischen Räume bilden die allgemeinsten mathematischen Räume, bezüglich derer stetige Abbildungen und der Begriff der Konvergenz definiert sind.