Akademik

точечно-множественное отображение, - отображение , ставящее в соответствие каждому элементу хмножества Xнек-рое подмножество Г (х)множества У. Если для каждого множество Г (х)состоит из одного элемента, то отображение Г наз. однозначным. М. о. Г можно трактовать как однозначное отображение Xв 2^Y, т. е. во множество всех подмножеств множества Y.

Для двух М. о.естественным образом определяется включение если для всех . Для любого семейства М. о. определяется объединение и пересечение: если для всех если для всех . Для любого семейства М. о.М. о.наз. декартовым произведением М. о. Г _a, если .Сечением М. о. Г наз. такое однозначное отображение что для всех . Графиком М. о. Г наз. множество

М. о. Г топологич. пространства X в топологич. пространство У наз. полунепрерывным сверху, если для всякого открытого множества множество открыто в X, или эквивалентно: для любой точки и любой окрестности Uмножества Г (х)найдется окрестность Ох точки хтакая, что если М. о. Г топологич. пространства Xв топологич. пространство У наз. полунепрерывным снизу, если для любого открытого множества множество открыто в X. Если для М. о. Г выполнены оба свойства одновременно, то оно наз. непрерывным М. о.

Пусть У - топологич. векторное пространство. М. о. наз. выпукло компактнозначным, если является выпуклым компактом для всех . Для конечного множества М. о. , определяется алгебраич. сумма с помощью равенства: Пересечение любого (конечного) семейства полунепрерывных сверху (непрерывных) М. о. является полунепрерывным сверху (непрерывным) отображением. Декартово произведение конечного семейства полунепрерывных сверху М. о. является полунепрерывным сверху отображением. Алгебраич. сумма конечного семейства полунепрерывных сверху (выпукло компактнозначных) отображений является полунепрерывным сверху (выпукло ком-пактнозначным). Пересечение и декартово произведение любого семейства выпукло компактнозначных отображений является выпукло компактнозначным. Пусть X- паракомпактное пространство и Y- метрич. линейное локально выпуклое пространство.

Пусть - М. о., являющееся полунепрерывным сверху и таким, что множество замкнуто в Yдля каждого . Тогда М. о. Г допускает непрерывное сечение. Пусть и - пространства с заданными на них s-алгебрами и ; М. о. Г: наз. измеримым, если график G(Г) принадлежит наименьшей -алгебре произведения , содержащей все множества вида , если и . Если Г - измеримое М. о. пространства в полное сепарабельное метрич. пространство , причем - борелевская -алгебра Y, то существует измеримое сечение f М. о. Г.

Лит.:[1] Куратозский К., Топология, пер. с англ., т. 1-2, М., 1966-69.

Б. А. Ефимов.