Akademik

; численные методы решения - методы, заменяющие исходную краевую задачу для уравнения Пуассона

(1)

системой из Nлинейных алгебраич. уравнений

L_N(u_N)=f_N,(2)

решение к-рой позволяет построить нек-рую аппроксимацию p_Nu_N для решения исходной задачи,.

В зависимости от способа сравнения решений исходной задачи (1) и дискретной задачи (2) определяются такие важнейшие понятия, как погрешность численного метода и оценка погрешности (точности). Другими характеристиками численных методов служат алгебраич. свойства систем (2) (дискретных аналогов краевых задач), связанные с устойчивостью их решений (корректностью дискретных задач) и возможностью отыскания точных или приближенных решений (2) теми или иными прямыми или итерационными методами при выполнении соответствующей вычислительной работы и соответствующих требованиях на объем используемой памяти ЭВМ (см. Минимизация вычислительной работы).

Важность численного решения краевых задач для П. у. определяется не только тем, что эти задачи часто возникают в разнообразных областях науки и техники, но и тем, что они нередко служат и средством решения более общих краевых задач как для уравнений и систем уравнений эллиптич. типа, так и различных нестационарных систем. Основными численными методами для решения рассматриваемых краевых задач являются проекционные методы и разностные методы.

Проекционные методы включают в себя ряд методов: вариационные, наименьших квадратов, Галеркина, проекционно-разностные, проекционно-сеточные, конечных элементов. Для всех них характерно сведение исходной краевой задачи к операторному уравнению

L(u)=f (3)

(оператор Lдействует, напр., из гильбертова пространства Нв Н).с последующим выбором конечномерных подпространств Н _N и ; сама задача (3) в этих методах заменяется задачей нахождения такой, что для любого

Тогда при заданных базисах в Н _N и F_N система (2) является системой относительно коэффициентов разложения по базису Н _N и за p_Nu_N можно принять саму функцию ; погрешность метода естественно определить как . В наиболее важных случаях Нявляется нек-рым подпространством пространства Соболева , и если y₁(x),y₂(x), . . .,y_N(x).- базис H_N, то система (2) принимает вид

(4)

Погрешность метода при этом определяется расстоянием в H от решения исходной задачи до подпространства H_N (см. [1], [5]-[9]). В современных вариантах проекционных методов подпространства Н _N стремятся выбирать так, чтобы функции y_i(x).имели локальные носители и в каждом уравнении (4) лишь конечное число коэффициентов было отлично от нуля. Методы такого типа и наз. проекционно-сеточными методами (проекционно-разностными, вариационно-разностными, конечных элементов) (см. [1], [4], [7] - [9], [11]). Наибольшим достоинством этих методов является их применимость при достаточно сложной геометрии области W, в к-рой рассматривается краевая задача. К проекционным методам примыкает и относительно редко применяемый коллокаций метод.

Разностные (конечноразностные) методы используют аппроксимацию исходной области W нек-рой сеточной областью W_N, содержащей Nузлов сетки, и обычно приводят к системе (2) на основе аппроксимации П. у. и соответствующих граничных условий их разностными (сеточными) аналогами, использующими лишь значения функции в выбранных узлах (см. [1]). Погрешность метода обычно получается сравнением вектора u_N и вектора, получаемого сужением искомого решения на множество рассматриваемых узлов. Корректность и аппроксимация могут изучаться при различных выборах норм, в частности возможно использование принципа максимума; сходимость получается как следствие корректности и аппроксимации (см. [1]-[4]).

Системы (2) могут выводиться и на основе нек-рых дискретных аналогов соответствующих вариационных задач и на основе аппроксимации нек-рых интегральных соотношений (см. [1], [2], [4], [10]); такие подходы несколько сближают эти варианты разностных методов с проекционно-разностными.

Методы решения систем сеточных уравнений (2) наиболее интенсивно изучались для простейших разностных аналогов на параллелепипедной сетке (см. [1], [9], [11]-[19]). В случае двух переменных и области W на плоскости, являющейся прямоугольником, часто применяются для ряда граничных условий прямые методы, позволяющие найти решение (2) при затрате O(Nln N).арифметич. действий. Это - метод разделения переменных, использующий дискретное преобразование Фурье, и метод редукции (см. [12], [13]); известны и методы с оценкой O(N).действий (см. [14]). При и наличии разделения переменных (W в атом случае - параллелепипед) решение (2) с точностью е>0 можно найти при затрате O(Nln N|lne|) действий с помощью итерационного метода переменных направлений (см. [1], [12]); итерационные методы с факторизуемыми операторами (метод последовательной сверхрелаксации с симметризацией, неполной матричной факторизации, попеременно-треугольный) позволяют найти решение (2) с точностью e при затрате 0(N^1+1/2d |ln e|) действий (см. [12], [15]) для довольно общих ситуаций.

В случае однесвязных и многосвязных областей W на плоскости, составленных из конечного числа прямоугольников, решение системы (2) с точностью е может быть найдено при затрате 0(Nln N+N^{3/4 |}lne|In N) действий на основе разрезов W на прямоугольники (см. [15], [16]). Похожая асимптотика для дискретных аналогов задачи Дирихле в случае некоторых областей получена с помощью метода емкостей (см. [17]) и фиктивных неизвестных (см. [18]). Для ряда систем (2), являющихся проекционно-разностными аналогами исходных задач, затраты типа O(Nln N |lne|), a иногда и О(Nln N) (при ) достигаются с помощью итерационных методов, использующих эквивалентность операторов по спектру (см. [11], [17], [19]). Использование последовательностей сеток в ряде случаев позволяет получить итерационные методы, дающие решение (2) с точностью , при асимптотически минимальных затратах вычислительной работы (число действий есть 0(N)).(см., напр., [1], [9], [11], [19]).

Лит.:[l] Годунов С. К., Рябенький В. С., Разностные схемы, 2 изд., М., 1977; [2] Ладыженская О. А.., Краевые задачи математической физики, М., 1973; [3] Марчук Г. И., Шайдуров В. В., Повышение точности решений разностных схем, М., 1979; [4] СамарскийА. А.,Андреев В. Б., Разностные методы для эллиптических уравнений, М., 1976; [5] Михлин С. Г., Численная реализация вариационных методов, М., 1966; [6] Красносельский М. А. [и др.], Приближенное решение операторных уравнений, М., 1969; [7] Обэн Ж. П., Приближенное решение эллиптических краевых задач, пер. с англ., М., 1977; [8] Стренг Г., Фикс Дж., Теория метода конечных элементов, пер. с англ., М., 1977; [9] Оганесян Л. А., Ривкинд В. Я., Руховец Л. А., Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений, ч. 1-2, Вильнюс, 1973-74 (Дифференциальные уравнения и их применение, в. 5, 8); [10] Самарский А. А., Фрязинов И. В., "Успехи матем. наук", 1976, т. 31, в. 6, с. 167-97; [11] ДьяконовЕ. Г., в кн.; Вариационно-разностные методы в математической физике, Новосиб., 1978, с. 149-64; [12] Самарский А. А., Николаев Е. С., Методы решения сеточных уравнений, М., 1978; [13] Ваrkеr R. J., в кн.: Mathematical models and numerical methods, Warsz., 1978, p. 255-68 (Banach center publications, v. 3); [14] Bank R. E., Rоse D. J., "SIAM J. Numer. Anal.", 1975, v. 12, № 4, p. 529-40; [15] Кузнецов Ю. А., в кн.: Вариационно-разностные методы в математической физике, Новосиб., 1978, с. 178-212; [16] Дьяконов Е. Г., в кн.: Численные методы в математической физике, Новосиб., 1979, с. 45-68; [17] Астраханцев Г. П., в кн.: Разностные и вариационно-разностные методы, Новосиб., 1977, с. 63- 72; [18] Капорин И. Е., Николаев Е. С., "Дифференциальные уравнения", 1980, т. 16, № 7, с. 1211-25; [19] Корнеев В. Г., Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности, Л., 1977. Е. Г. Дьяконов.