Akademik

Андрей Николаевич [р. 12 (25) апр. 1903] – сов. математик, акад. (с 1939), проф. Моск. ун-та (с 1931). Лауреат Гос. премии СССР (1941). Член ряда иностр. науч. учреждений. Исследования К. оказали значит. влияние на развитие множеств теории, теории функций, логики, топологии, теории вероятностей. Для К. характерны как поиски постановок и решений проблем в возможно более общем виде и интерес к логич. основам науч. теорий (работы по общей теории операций над множествами, общей теории интегрирования, обоснованию проективной геометрии, теории алгоритмов и автоматов, теории информации; создание ставшей классической аксиоматики теории вероятностей), так и внимание к запросам естествознания и техники (работы по гидромеханике, броуновскому движению, математич. биологии, статистич. методам контроля массовой продукции). К. принадлежит ряд работ по диалектико-материалистич. методологии математики, по филос. проблемам кибернетики, по вопросам истории и преподавания науки. В ст. "Математика" (БСЭ, 2 изд., т. 26, 1954, с. 464–83) К. дал новую периодизацию истории математики, основанную на энгельсовском определении этой науки.

Исследования К. по логике относятся к т.н. конструктивной логике и теории алгоритмов. В ст. "О принципе tertium non datur" ("Матем. сб.", 1925, т. 32, No 4, с. 646–67) К. на основе открытого им т.н. погружения классич. логики в конструктивную показал, что присоединение к последней принципа исключенного третьего не ведет к противоречию (если непротиворечива сама конструктивная логика); этот результат явился первым в серии аналогичных результатов, полученных затем Гливенко, Гёделем и др. В статье "Zur Deutung der intuitionistischen Logik" (см. "Mathematische Zeitschrift", В., 1932, Bd 35, H. 1, S. 58–65) К. истолковал интуиционистскую (конструктивную) логику как логику задач (см. Исчисление задач). Тем самым было впервые показано, что созданные интуиционистами логич. исчисления имеют содержание, независимое от филос. установок интуиционизма. В 1952 К. предложил весьма общее определение алгоритма, покрывающее ранее известные определения.

Соч.: Современные споры о природе математики, "Научное слово", 1929, No 6; Теория и практика в математике, "Фронт науки и техники", 1936, No 5; Современная математика, в кн.: Сб. статей по философии математики, М., 1936; Лобачевский и математическое мышление девятнадцатого века, в кн.: Николай Иванович Лобачевский. 1793–1943, М.–Л., 1943; Ньютон и современное математическое мышление, в кн.: Московский университет – памяти Исаака Ньютона. 1643–1943, М., 1946; Роль русской науки в развитии теории вероятностей, "Уч. зап. МГУ", 1947, вып. 91, т. 1, кн. 1, М.; Аксиома, БСЭ, 2 изд., т. 1; Алгебра в средней школе, там же, т. 2; Алгоритм, там же; Бесконечность (в математике), там же, т. 5; Величина, там же, т. 7; Вероятность, там же, Знаки математические, там же; т. 17 (совм. с И. Г. Башмаковой, А. П. Юшкевичем); Множеств теория, там же, т. 28 (совм. с П. С. Александровым); Кибернетика, там же, т. 51; Предисловие к кн.: Петер Р., Рекурсивные функции, пер. с нем., М., 1954; О понятии алгоритма, "Усп. мат. наук", 1953, т. 8, вып. 4; К определению алгоритма, там же, 1958, т. 13, вып. 4 (совм. с В. А. Успенским); Предисловие к рус. изд., кн. Эшби У. Росс, Введение в кибернетику, пер. с англ., М., 1959; О профессии математика, [3 изд. ], М., 1960; Кибернетика, МСЭ, 3 изд., т. 4; Автоматы и жизнь, в сб.: "Машинный перевод и прикладная лингвистика", вып. 6, 1961.

Лит.: Математика в СССР за тридцать лет. 1917–47, М.–Л., 1948; Александров П. С. И Хинчин А. Я., Андрей Николаевич Колмогоров. (К пятиде-сятилетию со дня рождения), "Усп. мат. наук", 1953, т. 8, вып. 3; Математика в СССР за сорок лет. 1917–1957, т. 1–2, М., 1959 (в томе 2 имеется библиография).

    КОЛМОГОРОВ Андрей Николаевич (12/25 апреля 1903, Тамбов — 20 октября 1997, Москва) — российский ученый, оказавший влияние на развитие ряда разделов математики (в т. ч. математической логики), ее философии, методологии, истории и преподавания, а также внесший значительный вклад в кибернетику, информатику, логику, лингвистику, историческую науку, гидродинамику, небесную механику, метеорологию, теорию стрельбы и теорию стиха. Действительный член Академии наук СССР (1939) и многих др. иностранных академий.

    Колмогоров окончил физико-математический факультет Московского университета (1925) и аспирантуру там же (1929); во время обучения был учеником Η. Η. Лузина. Первые научные работы — одну по истории Новгорода (опубликована в 1994) и другую математическую (опубликована в 1987) — выполнил в январе 1921. Первая научная публикация — в 1923. С 1931 состоял профессором Московского университета и внес выдающийся вклад в организацию математического образования. В МГУ Колмогоров создал и первьм возглавил кафедру теории вероятностей (1935), лабораторию статистических методов (1963), кафедру математической статистики (1976); с 1980 и до конца жизни заведовал кафедрой математической логики. В Математическом институте им. Стеклова АН СССР Колмогоров с 1939 по 1960 возглавлял отдел теории вероятностей, а с 1983 — отдел математической статистики и теории информации.

    Центральным для методологической позиции Колмогорова был вопрос о соотношении математических представлений с реальной действительностью. Подход Колмогорова к решению этого вопроса нашел отражение в его статье “Математичка”, опубликованной во всех изданиях БСЭ. Эта статья содержит оригинальную периодизацию истории математики, анализ предмета и метода математики и ее места в системе наук, а также специальный раздел, посвященный вопросам обоснования математики. В трудах Колмогорова вскрыты как внешние, так и внутриматематические мотивы возникновения новых математических понятий и теорий. Колмогоров отстаивал ту точку зрения, что восхождение к более высоким ступенях абстракции имеет практический смысл, и потому настаивал на более широком внедрении метода абстракции в преподавание. В 1933 Колмогоров предложил общепринятую ныне систему аксиоматического обоснования теории вероятностей.

    Для Колмогорова характерно повышенное внимание к различению в объектах и процессах конструктивного и неконструктивного. Конструктивными объектами с необходимостью являются объекты, участвующие в конструктивных процессах, а также выражения какого-либо языка. При этом выражение языка служит, как правило, именем неконструктивного объекта. Последнее наблюдение естественно приводит к понятию нумерации, служащему математическим выражением общей идеи соответствия между именами (в математической терминологии — “номерами”) и их денотатами в рамках какой-либо системы имен (в математической терминологии — “нумерации”); основы теории нумераций были сформулированы Колмогоровым в 1954. Интерес к конструктивным процессам привел его к алгоритмической проблематике. В частности, в 60-х гг. он предложил новые, алгоритмические подходы к обоснованию теории вероятностей, что позволило в конечном счете дать строгое определение понятию случайности для индивидуального объекта (что недоступно традиционной теории вероятностей).

    В кибернетике Колмогоров проанализировал роль дискретного (в противопоставлении непрерывному) и отстаивал принципиальную возможность возникновения у машин мышления, эмоций, целенаправленной деятельности и способности конструировать еще более сложные машины. В информатике в 50-х гг. он предложил общее определение понятия алгоритма, а в 60-х гг., опираясь на алгоритмические представления, создал теорию сложности конструктивных объектов. Эта теория в свою очередь была применена им для построения нового обоснования теории информации.

    Выдающуюся роль в логике играют две статьи Колмогорова: “О принципе tertium non datur” (Математический сборник, 1925. т. 32, № 4, с. 668—677) и “Zur Deutung der intuitionistischen Logik” (Mathematische Zeitschrift, 1932, Bd. 35, S. 58—65); обе перепечатаны в его кн. “Избранные труды. Матема

    тика и механика” (вторая — в рус. пер.: “К толкованию интуиционистской логики”). Обе объединены общей идеей — навести мост между интуиционистской логикой и традиционной, или “классической”, логикой, причем сделать это средствами, свободными как от идеологии интуиционизма, так и от крайностей теоретико-множественного догматизма. В статье 1925 предлагается такая интерпретация “классической” логики, которая приемлема с точки зрения интуиционизма; напротив, в статье 1932 предлагается такая интерпретация интуиционистской логики, которая приемлема с классических позиций.

    В статье “О принципе...” ученый принимает предпринятую главой интуиционизма Брауэром критику традиционной логики, при этом обнаруживая в последней еще один уязвимый, но обойденный критикой Брауэра логический принцип, а именно принцип, выражаемый аксиомой А -> (-i A -> В). Как указывает Колмогоров, эта аксиома “не имеет и не может иметь интуитивных оснований как утверждающая нечто о последствиях невозможного”. Он выдвигает два вопроса: 1) почему незаконное, с интуиционистской точки зрения, применение исключенного третьего принципа часто остается незамеченным? 2) почему оно не привело до сих пор к противоречию? На оба вопроса в статье даются ответы. На 1-й вопрос — потому что применения закона исключенного третьего оправданы, коль скоро возникающее в результате таких применений суждение носит финитный характер; действительно, в этом случае оно может быть доказано и без использования указанного закона (это открытие опровергло точку зрения Брауэра о том, чтопри получении финитных результатов должны быть запрещены нефинитные умозаключения). На 2-й вопрос — потому что если бы противоречие было получено при использовании закона исключенного третьего, то оно могло бы быть получено и без него; здесь впервые в истории логики произошло (предвосхитившее последующие работы Гёделя 30-х гг.) доказательство относительной непротиворечивости формальной аксиоматической системы, т. е. такое доказательство непротиворечивости, которое использует презумпцию о непротиворечивости другой системы. Колмогоров точно очертил круг тех суждений, для которых составленные из них тавтологии классической логики высказываний являются интуиционистски обоснованными: это суть те и только те суждения, для которых выполняется двойного отрицания закон. В этой же статье Колмогоров впервые предложил позитивный анализ обоснованности с точки зрения интуиционизма, традиционной, или “классической”, математики. Одновременно он впервые сделал интуиционистскую логику объектом строгого математического анализа. В статье была предложена первая система аксиом для этой логики, ныне известная как минимальное исчисление для отрицания и импликации.

    В 1-м разделе статьи “Zur Deutung...”(“К толкованию...”) Колмогоров наполняет формулы интуиционистской пропозициональной логики новым содержанием, свободным от философских предпосылок интуиционизма. Он предлагает рассматривать каждую такую формулу не как утверждение, а как проблему (т. е. как требование указать или построить объект, подчиненный тем или иным заранее заданным условиям). Понятие проблемы, или задачи, есть одно из фундаментальных понятий логики; Колмогоров был первым, кто включил это понятие в логико-математический дискурс, предвосхитив т. н. семантику реализуемости (Клини— Нельсона). Предложенная Колмогоровьм интерпретация интуиционистской логики близка к концепции Гейтинга, однако у последнего отсутствует четкое различение между суждением и проблемой. Существенным этапом в становлении логического мышления явилось предложенное Колмогоровым уточнение представления о сводимости одной проблемы к другой. Сам Колмогоров впоследствии так определял цель статьи: “Работа писалась в надежде на то, что логика решения задач сделается со временем постоянным разделом курса логики. Предполагалось создание единого логического аппарата, имеющего дело с объектами двух типов — высказываниями и задачами”. Во 2-м разделе статьи выдвигается и обосновывается следующий взгляд: с интуиционистской точки зрения нельзя, вообще говоря, рассматривать отрицание общего суждения в качестве содержательного суждения. “Но тогда, — указывает Колмогоров, — исчезает предмет интуиционистской логики, поскольку теперь принцип исключенного третьего оказывается справедливым для всех суждений, для которых отрицание вообще имеет смысл. Возникает, однако, новый вопрос: какие логические законы справедливы для суждений, отрицание которых не имеет смысла?”

    Соч.: Основные понятия теории вероятностей. М., 1974; Введение в математическую логику. М., 1982 (соавтор ДрагалинА. Г.}; Математическая логика: Дополнительные главы. М., 1984 (соавтор Драгалин А. Г.); Избр. трулы. Математика и механика. М„ 1985; Теория вероятностей и математическая статистика. М-, 1986; Теория информации и теория алгоритмов. М., 1987; Математика — наука и профессия. М., 1988; Математика в ее историческом развитии. М., 1991; Новгородское землевладение XV века. М., 1994; Современные споры о природе математики. — “Научное слово”, 1929, № 6; Современная математика. — Сб. статей по философии математики. М., 1936; Предисловие. — В кн.: ГейтингА. Обзор исследований по основаниям математики. М., 1936; Предисловие редактора перевода. — В кн.: Петер Р. Рекурсивные функции. М., 1954; Предисловие.— В кн.: Эшби У. Р. Введение в кибернетику М., 1958; Жизнь и мышление как особые формы существования материи. — В кн.: О сущности жизни. М., 1965; Письма А. Н. Колмогорова к А. Гейтингу. — “Успехи математических наук”, 1988, т. 43, вып. 6; Семиотические послания. — “Новое литературное обозрение”, 1997, № 24.

    Лит.: Успенский В. Л. Наш великий современник Колмогоров. — В кн.: Колмогоров Л. Математика в ее историческом развитии. М., 1991; Колмогоров в воспоминаниях. М., 1993; Uspensky V. A. Kolmogorov and mathematical logic. — “The Journal of Symbolic Logic”, 1992, vol. 57. N 2. P. 385-412; Youshckevitch A. P. A. N. Kolmogorov: Historian and Philosopher of Mathematics. — “Historia mathematica”, 1983, vol. 10, N 4, P. 383-395.

    В. А. Успенский