Akademik

        (от греч. — после и теория), теория, анализирующая структуру, методы и свойства к.-л. др. теории — т. н. предметной (или объектной) теории. Наиболее развитый характер имеют М. логики (наз. металогикой) и М. математики (наз. метаматематикой). Объектом рассмотрения в М. оказывается не сама но себе содержат. науч. теория, а её формальный аналог — исчисление (формальная система). Подлежащая исследованию в М. содержат. теория предварительно подвергается формализации. Часть М., наз. синтаксисом, изучает структуру своей предметной теории, а также её дедуктивные средства. М. рассматривает различные интерпретации исследуемой формальной системы; эта часть М., воспринимающая предметную теорию как формализованный язык, наз. семантикой.

        Понятие М. впервые было выдвинуто Гильбертом в связи с его программой обоснования классич. математики средствами созданной его школой теории доказательств (метаматематики). Ряд важных метатео-ретич. результатов (гл. обр. семантич. содержания) был получен Тарским.

        см. также Аксиоматический метод, Метаязык.

(от греч. μετά – за, после) – теория, анализирующая структуру и методы к.-л. другой теории. Термин "М." имеет смысл и употребляется лишь по отношению к нек-рой данной, конкретной теории (М. логики, или металогика; М. математики, или метаматематик а, – теория математич. доказательств; М. отд. разделов физики; метахимия; метабиология и т.д.). Вообще, в принципе можно говорить о М. любой науч. дисциплины как дедуктивной, так и недедуктивной. Однако выполнение требований, предъявляемых к развитию любой М., связано с большими трудностями при построении М. для нематематич. наук или для наук нематематизируемых на данном этапе познания.

Каждая науч. теория изучает определ. фрагмент реального мира, а ее М. – систему понятий и положений данной теории. Задача М. – установить границы области применения изучаемой в ней теории, ответить (если это возможно на данном этапе развития науки) на вопросы о ее непротиворечивости и полноте, изучить (или установить) способы введения ее новых понятий и доказательства ее предложений и т.п. При этом различают с и н т а к с и ч е с к и й и с е м а н т и ч е с к и й аспекты М., посвященные соответственно изучению формальной структуры и интерпретациям рассматриваемой в ней теории (см. Синтаксис в логике, Семантика в логике).

Метатеоретич. исследование не только содействует более глубокому проникновению в основы теории, но и существенно влияет на развитие самой теории.

Критически изучая структуру к.-л. теории, М. позволяет изыскивать методы более рационального ее построения. Составляющие содержание М. м е т а т е о р е м ы, или теоремы о теоремах, позволяют упрощать механизм проведения логич. выводов в изучаемой теории; образцом может служить метаматематич. (металогич.) теорема о дедукции.

Непосредственная цель многих метатеоретич. исследований в различных областях науки – автоматизация отд. звеньев процесса логич. вывода (а в идеале – и всего этого процесса в целом), "автоматизация" в самом прямом, технич. значении этого термина. Встающие здесь трудности, особенно значительные для наук, не имеющих ясно выраженного дедуктивного характера, разрешаются на пути логич. анализа оснований данной науки и ее последующей формализации и аксиоматизации (см. Метод аксиоматический).

Фактически любая М. имеет дело не с содержательно понимаемой науч. теорией, а с точным понятием формальной системы (исчисления) [если предназначенная для исследования в М. теория с о д е р ж а т е л ь н а, то она предварительно подвергается формализации ]. Формальная система, являющаяся предметом исследования М., наз. ее п р е д м е т н о й теорией. Последняя представляет собой систему четко определенных символов и конструируемых из них предметов, с к-рыми оперируют по определ. правилам. В отличие от предметной теории (к-рая в дальнейшем изложении будет пониматься как формальная система), М. есть с о д е р ж а т е л ь н а я теория. Иногда метатеоретич. результаты в свою очередь формализуются и становятся предметом изучения м е т а м е т а т е о р и и и т.д. M. формулируется в метаязыке, тогда как изучаемая ею предметная теория находит свои средства выражения в т.н. я з ы к е - о б ъ е к т е.

Понятие предметной теории становится, т.о., экспликатом понятия научной теории. Выдвинувший впервые концепцию М. немецкий математик Д. Гильберт в своих ранних, относящихся к концу 90-х гг. 19 в., доказательствах непротиворечивости математич. теорий пользовался заданием нек-рой м о д е л и, т.е. такой системы формальных объектов, к-рая берется (вообще говоря) из др. теории и удовлетворяет аксиомам данной теории. В этом смысле предметная теория есть модель определ. части содержат. логики и математики (или, возможно, к.-л. др. дисциплины, основанной на логике), из к-рых она получается посредством формализации. В свою очередь, содержат. теория является и н т е р п р е т а ц и е й формальной системы. Это обстоятельство имеет первостепенное гносеологич. значение, обеспечивая приложимость логико-математич. результатов к той области действительности, к-рая отражается в данной науч. теории. Взаимоотношение между М. и предметной теорией отчетливо проявляется на примере требования непротиворечивости предметной теории, согласно к-рому в формальной системе должны быть доказуемы только истинные предложения, формализуемые в ее языке. Т.о., для постановки и обсуждения всех вопросов, касающихся непротиворечивости, исходным пунктом является естественное с гносеологич. т. зр. требование соответствия теории реальной действительности; теорию, в к-рой доказуемы в с е предложения, формулируемые на ее языке, есть все основания считать ложной.

Метаматематика. Необходимость создания М. возникла прежде всего в применении к математике; метаматематика является наиболее разработанной М. (Следуя идущей от Гильберта традиции, метаматематику, в отличие от металогики, часто понимают в более узком смысле, чем тот, к-рый следует из очерченной выше концепции метатеории; именно к метаматематике иногда причисляют лишь вопросы синтаксиса предметной математической теории, выделяя семантику в качестве самостоят. области исследования.) Развитие аксиоматич. метода в математике и открытие теоретико-множественных (логических) парадоксов разрушили привычные представления о "наглядной" очевидности как критерии истины в математике и "общепонятности" (общеубедительности) математич. рассуждений. Это вызвало необходимость в уяснении смысла (а следовательно, и точного определения) понятий доказательства, аксиомы, теоремы, потребовало исследования структуры математич. теорий (синтаксис) и вопроса об их истинности в к.-л. интерпретациях (семантика) и, наконец, проблемы их непротиворечивости (метаматематика).

Решение этих проблем было предложено в т.н. гильбертовской программе, согласно к-рой подлежащая изучению в М. научная теория подвергается формализации. Получающаяся в результате формальная система исследуется (на предмет выяснения ее непротиворечивости, полноты, разрешимости, независимости ее аксиом и др.) содержательными методами, не аппелирующими, однако, к смыслу ее объектов (формул) (см. Формализм). Такую содержат. теорию, изучающую структуру и свойства формальных систем, Гильберт и назвал метаматематикой.

Программа Гильберта допускала в М. лишь т.н. финитные методы, т.е. методы, в к-рых используются лишь конечные конструкции и выводы: наглядно представляемые предметы и эффективно осуществимые процессы (отсюда термин "финитизм" как название концепции Гильберта). Т.о., не допускается абстракция актуальной бесконечности (см. также Алгоритм) и требуется, чтобы доказательства существования любых объектов носили конструктивный характер; это значит, что должен быть указан, хотя бы неявно, метод построения рассматриваемого объекта. Иначе говоря, финитизм требует, чтобы математические предметы были указаны в явной форме, – или же должен быть дан способ их конструирования. Эти предметы должны быть "наглядны" (т.е. состоять из представляемых, различаемых и отождествляемых элементов). Строя свою теорию доказательства, Гильберт исходил из того, что содержащиеся в ней правила должны выражать "технику нашего мышления". "Основная идея моей теории доказательства сводится к описанию деятельности нашего разума, иначе говоря, это протокол о правилах, согласно которым фактически действует наше мышление" ("Основания геометрии", М.–Л., 1948, с. 382).

На пути, указанном Гильбертом, был получен ряд важных метаматематич. результатов. Ограниченность гильбертовского финитизма была вскрыта открытием Гёделя (1931), которое положило начало новому этапу в развитии метаматематики.

Гёдель ввел важный метод арифметизации М., в основе к-рого лежит однозначная нумерация объектов формальной системы (символов, термов, формул, доказательств и т.д.) нек-рыми натуральными числами. Эти числа наз. гёделевскими номерами этих объектов. Каждому формальному символу, входящему в алфавит системы, ставится в соответствие нек-рое число, а правилам образования формальных объектов – такая арифметич. операция, к-рая позволяет по числу – результату этой операции – однозначно восстановить способ образования из элементарных символов формального объекта (напр., формулы), имеющего номером это число. (Идея такой нумерации, по существу весьма естественная, напоминает принцип библиотечной или к.-л. др. классификации.)

Суть подхода Гёделя состоит в том, что арифметич. высказывания о числах, являющихся гёделевскими номерами нек-рых объектов предметной теории, могут быть интерпретированы как предложения о самих этих объектах. В результате этого метаматематич. предикаты (напр., "быть термом", "быть формулой", "быть доказательством" и т.д.) становятся представимыми при помощи арифметич. предикатов.

Рассмотрим метаматематический предикат ß(A(a),x,у), имеющий смысл: "у есть доказательство формулы, получающейся в результате подстановки цифры x (т.е. знака, обозначающего число х) в формулу А(а) вместо свободной переменной а". Заменим все объекты в этом предикате их гёделевскими номерами. Если формула А(а) получит номер р, а доказательство у номер b, возникнет арифметич. предикат (или предикат от натуральных чисел): Ρ(p, x, b). Этот предикат может быть представлен в арифметич. формальной системе, т.е. может быть написана арифметич. формула, выражающая этот предикат. Будем считать, что эта формула совпадает с обозначением нашего предиката Р. Рассмотрим теперь формулу ∀bP(p, p, b) (где вместо x подставлен гёделевский номер этой формулы). Получившаяся формула [назовем ее Аp(р) ] выражает следующее метаматематич. утверждение: "Для всякого натурального числа b неверно, что b есть гёделевский номер доказательства результата подстановки вместо переменной x в формулу с гёделевским номером p натурального числа p", т.е., иными словами, она выражает, что не существует доказательства этой формулы – выражает свою собственную недоказуемость. Если система непротиворечива (и, следовательно, все доказуемые в ней формулы истинны), то Аp(р) не может быть доказуемой, потому что тогда она была бы, в соответствии со своим собственным смыслом, ложной.

Но эта формула не только не доказуема, но и не опровержима. Для доказательства неопровержимости этой формулы методом Гёделя требуется более сильное условие, чем непротиворечивость системы (т. н. ω-непротиворечивость), но, как показал амер. математик и логик Дж. Б. Россер (1934), это несущественно. Несколько усложнив пример неразрешимой формулы [назовем эту новую формулу Aq(q) ], он доказал, что если арифметическая формальная система непротиворечива, то недоказуема как формула Aq(q), так и ее отрицание Aq(q); иначе говоря, если эта система непротиворечива, то она неполна, и Aq(q) является неразрешимой формулой. Это – первая теорема Гёделя в форме Россера.

Утверждение, что арифметич. формальная система непротиворечива, тоже может быть выражено нек-рой формулой этой системы. Выше говорилось, что система непротиворечива, если в ней есть недоказуемая формула. Возьмем в качестве такой формулы ложную формулу "1=0". Пусть эта формула имеет гёделевский номер r. Тогда ∀bP(r, r, b) выражает недоказуемость формулы "1=0", и, следовательно, непротиворечивость системы. Выше мы видели, что из того, что система непротиворечива, следует, что Аp(р) недоказуема. Если доказательство этого факта формализуется в формальной арифметич. системе с помощью гёделевской нумерации, то в этой системе должна быть доказуема следующая формула: ∀bP(r, r, b) ⊃ Ap(р) [по смыслу самой формулы Аp(р)! ]. Допустим, что ∀bP(r, r, b) доказуема, тогда, применив правило modus ponens, мы получаем Аp(р), что невозможно по предыдущей теореме Гёделя. Отсюда – следующая теорема: "Если арифметич. формальная система непротиворечива, то недоказуема формула ∀bP(r, r, b)"; иначе говоря, если указанная система непротиворечива, то невозможно построить доказательство ее непротиворечивости, проведенное средствами, формализуемыми в этой системе. Это – вторая теорема Гёделя о неполноте.

Результаты Гёделя (верные не только по отношению к арифметике, но и ко всякой системе, содержащей арифметику натуральных чисел как свою часть – такова, напр., аксиоматич. теория множеств) и полученные в последующие годы др. важные результаты, относящиеся к неразрешимости и неполноте формальных систем (так, в 1934 Чёрч, пользуясь методами, аналогичными гёделевым, доказал неразрешимость проблемы разрешения как для теорий, содержащих арифметику натуральных чисел, так и для исчисления предикатов), имели важнейшее филос. значение, т.к. обнаружили ограниченность метода формализации. Они убедительно показали, что понятия и принципы даже такой казалось бы "элементарной" области математики, как арифметика натуральных чисел, – не говоря уже о всей математике и о нематематических науках, пользующихся аппаратом математики, – "...не могут быть полностью выражены никакой формальной системой, как бы мощна она ни была" (Новиков П. С., Элементы математической логики, 1959, с. 36). Значение теорем Гёделя состоит еще и в том, что те рассуждения, к-рые выше были охарактеризованы как финитные, формализуются в арифметике с помощью гёделевской нумерации. Следовательно, такими финитными методами мы не только не можем доказать непротиворечивость всей классической математики, но даже и классической арифметики.

Теоремы Гёделя, указывая на предел возможностей финитизма, направили значит. часть последовавших за ними исследований по новому пути: не отказываясь от осн. идеи Гильберта исследовать средствами, представляющимися вполне допустимыми, проблемы, связанные с непротиворечивостью и др. свойствами формальных систем, искать новые, более сильные, но также достаточно убедительные, методы такого исследования (во всяком случае эти средства должны быть, согласно второй теореме Гёделя, сильнее арифметических). Такие конструктивные, – но уже не финитные в прежнем понимании – методы [напр. (математическая) индукция по т.н. конструктивным трансфинитным числам ], были успешно применены нем. математиком Г. Генценом (1936), П. С. Новиковым (1943), нем. математиками Аккерманом (1940) и К. Шютте (1951) для доказательства непротиворечивости классич. арифметики, причем для этих доказательств оказалось достаточным использование средств минимальной логики. Еще раньше Гёдель (1932–33) показал непротиворечивость классич. арифметики относительно интуиционистской арифметики (см. Интуиционизм); для т.н. ограниченной арифметики [без аксиомы (полной) математической индукции ] непротиворечивость была установлена П. С. Новиковым (1959) метаматематически. Др. подход, использующий т.н. ультраинтуиционистскую (не формализуемую в классич. логике, но удовлетворяющую системе весьма строгих критериев убедительности) концепцию в основаниях математики, был использован для доказательства (1960) непротиворечивости аксиоматич. теории множеств – проблемы, к-рая в рамках финитизма, согласно результатам Гёделя, не может быть решена.

Лит.: Гейтинг Α., Обзор исследований по основаниям математики, пер. с нем., М.–Л., 1936, гл. 2, 4; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.–Л., 1948, доб. VI–X; Клини К. С., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Есенин-Вольпин А. С., Анализ потенциальной осуществимости, в сб. ст.: Логич. исследования, М., 1959; К обоснованию теории множеств, в кн.: Применение логики в науке и технике, [М., 1960 ]; Gödel К., Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. I, "Monatsh. Math. Physik", 1931, Bd 38, S. 173–98; его же, Zur intuitionistischen Arithmetik und Zahlentheorie, "Ergebnisse eines mathematischen Kolloquims", Bd 4 (1931–32), W., 1933, S. 34–38; Gentzen G., Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie, "Math. Ann.", 1936, Bd 112, H. 4; Сhurсh Α., An unsolvable problem of elementary number theory, "Amer. J. Math.", 1936, v. 58, p. 345–63; Rosser В., Extensions of some theorems of Gödel and Church, "J. Symbolic Logic", 1936, v. 1, No 3; Ackermann W., Zur Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie, "Math. Ann.", 1940, Bd 117, H. 2; Νovikоff P. S., On the consistency of certain logical calculus, Матем. сб., Новая серия, т. 12, 1943, вып. 2; Schütte К., Beweistheoretische Erfassung der unendlichen Induktion in der Zahientheorie, "Math. Ann.", 1951, Bd 122, H. 5; Tarski A., Mostowski Α., Robinson R. M., Undecidable theories, Amst., 1953. См. также лит. при ст. Металогика, Метаязык.

    МЕТАТЕОРИЯ (от греч. μετά — после и теория; букв. теория о некоторой другой теории) — одно из важнейших понятий современной логики, математики, философии и методологии науки; теория, анализирующая структуру, методы и свойства некоторой другой теории — предметной, или объектной, теории. В самом общем смысле метатеорией является любой метаязык, описывающий структуру, свойства и т. п. какого-либо языка-объекта. Согласно выработанным в 20 в. представлениям (У. Сепир, Б. Уорф, К. Поппер и др.), каждый язык является концептуализацией мира или его фрагментов, т. е. теорией (возможно, не очень богатой, как, напр., язык знаков светофора, или очень богатой в случае естественного языка). Поэтому соответствующий метаязык выступает в качестве метатеории по отношению к теории, сформулированной в языке-объекте. Исторически термин “метатеория” был первоначально введен в начале 20 в. в исследованиях по основаниям математики и логики (Д. Гильберт, К. Гёдель, А. Тарский, Р. Карнап, А. Чёрч, С. Клини и др.) применительно к изучению математических и логических теорий, результатом чего явились программы построения метаматематики и металогики. Именно в этой области в метатеоретических исследованиях были получены важные результаты.

    Основная задача построения метатеории состоит в уточнении (экспликации) соответствующих предметных теорий и анализе их свойств. При этом в рамках общей программы проведения метатеоретических исследований на предметные теории и метатеории не накладывается никаких ограничений: они могут быть содержательными, дедуктивными, частично или полностью формализованными и могут использовать любые логические средства. Результатами таких исследований явились попытки построения метабиологии, метахимии, метатеории физического знания, метатеории теорий систем и даже метанауки, однако в них пока не получены значительные метатеоретические достижения, сравнимые с теми, которые имеются в метаматематике и металогике.

    Одной из исходных посылок метаматематической программы Гильберта является утверждение о том, что в качестве предметной теории, для которой будет строиться соответствующая метатеория, следует брать не некую содержательную теорию, напр., содержательную математику, а ее формализованное представление в виде исчисления или формальной системы (теории). Такая формальная система строится по явно сформулированным, четким правилам; она может состоять из неинтерпретированных знаков и знакосочетаний (формул, выражений) — в этом случае она является синтаксической (см. Логический синтаксис), илиее элементам приписывается определенная интерпретация, то есть фиксируется их смысл или значение, — и в этом случае она является семантической (см. Логическая семантика). Метатеория, которая строится по отношению к т. о. представленной предметной теории, является содержательной теорией, т. е. она состоит из содержательно понимаемых элементов естественного языка. В ней формулируются метатеоремы — теоремы о теоремах, которые описывают синтаксические и семантические свойства соответствующей предметной (формализованной) теории.

    Для того, чтобы метаматематика выполнила свою основную функцию — обоснования содержательной математики, она, согласно Гильберту, должна пользоваться только т. н. финитными методами, то есть использовать лишь конечные конструкции и конструктивные доказательства, не допускающие применения абстракции актуальной бесконечности, которая играет важную роль в содержательной математике и в ее формализованном представлении. В рамках этой программы был получен ряд важных метатеоретических результатов. Так, была доказана синтаксическая метатеорема о дедукции, которая устанавливает связь между понятием выводимости (доказуемости) в данной предметной теории (напр., в исчислении высказываний или исчислении предикатов) и логической операцией импликации, входящей в алфавит данной предметной теории. Примером семантической метатеоремы является теорема о полноте классического исчисления высказываний, согласно которой для этого исчисления понятия доказуемой формулы (формальной теоремы) и формулы, истинной при некоторой его интерпретации, совпадают. Некоторые понятия метаматематики носят смешанный — синтаксически-семантический характер. Таково, напр., понятие непротиворечивости, которое синтаксически определяется как невыводимость в предметной теории противоречия, т. е. конъюнкции некоторой формулы и ее отрицания, а в семантическом плане означает соответствие данной предметной теории некоторой ее интерпретации. Эквиваленность этих определений является нетривиальным метатеоретическим фактом.

    Несмотря на указанные и многие другие метатеоретические результаты оказалось, что метаматематическая программа Гильберта и прежде всего его финитистская установка не могут быть реализованы. Это убедительно показал Гёдель (1931), доказав свои две знаменитые теоремы. Согласно его первой теореме, любая формализованная система, достаточно богатая для того, чтобы включать в себя арифметику натуральных чисел, неполна, так как в ней имеются правильно построенные формулы (выражения), которые не доказуемы и не опровержимы в ее рамках. Вторая теорема Гёделя утверждает: если арифметическая формальная система непротиворечива, то невозможно построить доказательство ее непротиворечивости, проведенное средствами, формализуемыми в этой системе. Эти теоремы, имеющие несомненное философскометодологическое значение, свидетельствуют об ограниченности метода формализации теорий, который лежит в основе гильбертовской метаматематической программы, и о том, что с помощью финитных методов нельзя доказать непротиворечивость не только классической математики, но даже и классической арифметики.

    Вслед за результатами Гёделя были вскрыты и другие ограниченности формализмов: Чёрч доказал неразрешимость проблемы разрешения для узкого исчисления предикатов, Тпрский показал невыразимость предиката истинности для какого-либо исчисления средствами этого же исчисления и т. д. В связи с этим потребовалась определенная модификация программы Гильберта — необходимо было найти новые, более сильные, чем финитные, но также достаточно убедительные методы метатеоретических рассуждений. Значительный прогресс в этом отношении был получен в середине и во 2-й пол. 20 в. Г. Генценом, В. Аккерманом, П. С. Новиковым, К. Шютте, А. С. Есениным-Вольпиным и др.; метаматематические и металогические исследования остаются актуальной задачей и в настоящее время.

    Лит.: Гильберт Д. Основания геометрии. М.—Л., 1948; КлиниС. К. Введение в метаматематику. М., 1957; Математическая теория логического вывода. М., 1967; Турчин В. Ф. “Сумасшедшие” теории и метанаука.— “ВФ” 1968, № 5; Садовский В. Н. Обшая теория систем как метатеория.— “ВФ” 1972, № 4; Есенин-Вольпин А. С. Об антитрадиционной (ультраинтуиционистской) программе оснований математики и естественнонаучном мышлении.— “ВФ” 1996, ¹ 8; Tarski A., Mostovski A., Robinson P. M. Undecidable Theories. Amst., 1953; WoodgerJ. H. The Axiomatic Method in Biology. Cambr., 1937. См. также литературу к статье Метаязык.

    Ю. А. Гастев, В. Н. Садовский