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empirische Verteilung,

 

Stochastik: die der Stichprobe x = (x₁, x₂,. .., x_n) von reellen Beobachtungen zugeordnete diskrete Verteilung h_x (Dichte), die jedem der Punkte x_i die Masse 1 / n zuordnet; kommt dabei ein Wert mehrfach, etwa k-fach vor, so erhält er die Masse k / n. Man nennt die zu h_x gehörige Verteilungsfunktion F_x die empirische Verteilungsfunktion zur Stichprobe x. Für — ∞ t + ∞ gilt wobei m_x (t) die Anzahl der Stichprobenwerte x_i ist, die höchstens gleich t sind.

 

Stammt die Stichprobe x aus einer Grundgesamtheit mit der unbekannten Verteilungsfunktion F, so ist die empirische Verteilungsfunktion F_x eine gute Schätzfunktion für F. Dies wird bestätigt durch den (auch als Hauptsatz der mathematischen Statistik bezeichneten) Satz von Gliwenko-Cantelli (nach den Mathematikern W. I. Gliwenko, * 1897, ✝ 1940, und F. P. Cantelli, * 1875, ✝ 1966): Bezeichnet Y_n = (X₁, X₂,. .., X_n) die Folge der ersten n Stichprobenvariablen, so konvergiert die Folge der empirischen Verteilungsfunktionen mit Wahrscheinlichkeit 1 gleichmäßig gegen F. - Die Bedeutung der empirischen Verteilung liegt u. a. darin, dass deren Maßzahlen (oder leichte Modifikationen davon) gute Schätzer für die entsprechenden Maßzahlen von F sind. Erstere kommen daher auch als Prüfgrößen bei den Testproblemen infrage, bei denen die Hypothesen durch Maßzahlen der unbekannten Verteilungsfunktion F festgelegt sind. Die Definition der empirischen Verteilung bleibt für vektorwertige Stichproben unverändert.