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Statịstik

 

[wohl zu neulateinisch statisticus »staatswissenschaftlich«, zu lateinisch status »das Stehen«, »Stand«, »Stellung«] die, -/-en, Teilgebiet der Stochastik, das sich mit der Gewinnung und Auswertung quantitativer Informationen von zufälligen Erscheinungen der realen Welt aufgrund von Beobachtungen oder Erhebungen befasst und sich dabei v. a. der Wahrscheinlichkeitstheorie bedient. Statistische Methoden beruhen auf der Erfahrung, dass bei bestimmten Massenerscheinungen Gesetzmäßigkeiten nachweisbar sind, die für Einzelereignisse nicht formuliert werden können. - Als Statistik werden auch meist zahlenmäßig erfasste, in Form von Tabellen und grafischen Darstellungen zusammengestellte Ergebnisse von Datensammlungen bezeichnet (z. B. Bevölkerungs-, Industrie-, Verkehrsstatistik).

 

Nach der jeweiligen Aufgabenstellung wird die Statistik in beschreibende und mathematische Statistik unterteilt. Die beschreibende Statistik (deskriptive Statistik) befasst sich mit der numerischen und grafischen Darstellung der in Form einer Stichprobe x = (x₁, x₂,. .., x_n) vorliegenden Beobachtungsergebnisse, der Berechnung typischer Maßzahlen, wie Verhältniszahlen, Mittelwerte, Varianzen und relative Häufigkeiten, und ihrer Annäherung durch gängige Verteilungen (z. B. Poisson-Verteilung, Normalverteilung). Sie beinhaltet auch eine teilweise Analyse der Beobachtungsergebnisse ohne Verwendung eines wahrscheinlichkeitstheoretischen Modells (explorative Datenanalyse). Aufbauend auf der beschreibenden Statistik behandelt die mathematische Statistik (auch analytische, induktive, schließende Statistik) 1) die Schätzung von Maßzahlen des untersuchten Merkmals (Schätztheorie), 2) die Berechnung zugehöriger Konfidenzintervalle (Konfidenzschätzung) und 3) das Testen von Hypothesen über die dem Merkmal zugrunde liegende Verteilung (Testtheorie). Diese Aufgaben werden auch als »Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit« bezeichnet.

 

Statistische Methodik:

 

Die in der Statistik zu analysierenden Erscheinungen sind Zufallsversuche und werden daher durch das wahrscheinlichkeitstheoretische Modell (statistische Modell) einer Zufallsvariablen (eines Zufallsvektors) mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Q modelliert. Wäre Q bekannt, so könnten alle zufälligen Aspekte der Erscheinung mit den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitstheorie berechnet und als Wahrscheinlichkeitsaussagen über das Verhalten des Zufallsexperiments bei zukünftiger Durchführung verwendet werden. Typischerweise ist Q unbekannt; aufgrund von Erfahrungen oder Vermutungen ist man jedoch zu der Annahme berechtigt, dass Q zu einer Familie von parameterabhängigen Verteilungen Q_ϑ gehört, wobei der Parameter ϑ in einer bestimmten Menge, dem Parameterraum, liegt (Verteilungsannahme). Die Ermittlung von Q bedeutet damit, den zugehörigen (»wahren«) Parameter ϑ* wenigstens angenähert zu bestimmen; es muss also Q = gelten. Die Gewinnung zuverlässiger Informationen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung Q erfolgt aufgrund mehrfacher Wiederholung des durch Q bestimmten Zufallsversuchs, was ein Beobachtungsergebnis in Form einer Stichprobe x liefert. Da die Stichprobenwerte zufallsabhängig sind, sind statistische Aussagen mit einer prinzipiell unvermeidbaren Unsicherheit behaftet. Diese ist (unter Verwendung der Stichprobenvariablen X_i) mithilfe eines weiteren Zufallsversuchs (»Stichprobenentnahme«) abschätzbar. Dabei lässt man sich von dem Prinzip leiten, unter den möglichen statistischen Verfahren eines zu finden, welches für alle Parameter ϑ des Parameterraumes »gut« oder bezüglich eines zu wählenden Kriteriums sogar optimal ist. Für die Beurteilung der Güte eines auf der Stichprobenfunktion T (x) beruhenden statistischen Verfahrens spielt die Verteilung von T (X₁, X₂,. .., X_n) bezüglich der Verteilungen Q_ϑ eine entscheidende Rolle. Verfahren für großen Stichprobenumfang n gehen häufig von der Annahme einer Normalverteilung aus, während nichtparametrische Verfahren auch für kleinen Stichprobenumfang verwendet werden. Ist Q mehrdimensional, so spricht man von multivariaten Verfahren (beziehungsweise multivariater Statistik). In der Statistik stochastischer Prozesse werden die klassischen Fragestellungen und Methoden, die sich mit endlich-dimensionalen Wahrscheinlichkeitsverteilungen befassen, auf die endlich-dimensionalen Verteilungen eines stochastischen Prozesses übertragen.

 

Die Computerstatistik befasst sich mit der Entwicklung und effektiven Durchführung rechenintensiver statistischer Verfahren. Sie liefert somit Grundlagen für die Erstellung der in der Praxis weit verbreiteten Statistiksoftware.

 

Die Statistik findet in allen natur- (z. B. Stellarstatistik, statistische Physik) und vielen geisteswissenschaftlichen Disziplinen, in der Technik (z. B. Qualitätskontrolle) und dem Operations-Research Anwendung. In der Biologie und Medizin, Psychologie, Soziologie und den Wirtschaftswissenschaften haben sich spezielle statistische Disziplinen, wie Biometrie, Psychometrie, Soziometrie und Ökonometrie, entwickelt.

 

Institutionen:

 

Einrichtungen, die sich mit statistischer Arbeit befassen, gibt es auf nationaler und internationaler (z. B. Statistisches Amt der Europäischen Gemeinschaften) Ebene. In Deutschland obliegt die amtliche Statistik (überwiegend Bundesstatistik) dem Statistischen Bundesamt und den Statistischen Ämtern der Länder. Nur in gesetzlich geregelten Ausnahmefällen sind auch andere Behörden (z. B. Bundesanstalt für Arbeit, Deutsche Bundesbank, Kraftfahrt-Bundesamt) für die Durchführung einzelner Bundesstatistiken zuständig. - Eine rege statistische Tätigkeit entfalten auch Organisationen, wissenschaftliche Institute (z. B. Einrichtungen der empirischen Sozialforschung, wirtschaftswissenschaftliche Forschungsinstitute), Markt- und Meinungsforschungsinstitute, (Wirtschafts-)Verbände sowie einzelne Unternehmen selbst.

 

Geschichte:

 

Die erste überlieferte statistische Ermittlung wurde um 3050 v. Chr. in Ägypten durchgeführt. Mehrfach fanden in der röm. Kaiserzeit Volkszählungen statt; für das Mittelalter liegen vergleichsweise wenig Statistiken vor. In der Form systematischer Staatenbeschreibungen gab es Statistiken zwischen dem 16. und 18. Jahrhundert, zunächst in Italien, später in Holland und Deutschland; statistische Erhebungen über den Außenhandel wurden schon im 17. Jahrhundert veranstaltet. Die erste deutsche Schule der wissenschaftlichen Statistik (»Universitäts-S.«) wurde 1660 von H. Conring gegründet und von G. Achenwall im 18. Jahrhundert weitergeführt. Sie wurde durch die sich 1830-50 vollziehende Verbindung mit der »politischen Arithmetik« fortentwickelt, die in England Mitte des 17. Jahrhunderts von J. Graunt und W. Petty begründet worden war; ihr Hauptvertreter in Deutschland war J. P. Süssmilch. Im Gegensatz zur deskriptiv orientierten Universitätsstatistik versuchte die politische Arithmetik Regelmäßigkeiten im Wirtschafts- und Sozialleben darzustellen. Besonders bemühte sie sich um die Erforschung der Bevölkerungs-Verhältnisse. Mit der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung (ab Mitte des 17. Jahrhunderts) entstanden Verbindungen der Statistik zu dieser. Um die Verbreitung der Statistik machte sich Mitte des 19. Jahrhunderts besonders L. A. J. Quetelet verdient. Im 19. Jahrhundert entstanden verschiedene Richtungen: eine russische (P. L. Tschebyschow), eine englische (F. Galton) und eine deutsche (W. Lexis). Die von R. A. Fisher in der englischen Tradition 1920-35 entwickelte Methodik sowie die von J. Neyman in den USA begründete Theorie optimaler Verfahren ist bis heute in der Statistik dominierend. In den 1940er-Jahren wurden die klassischen statistischen Zielsetzungen (Beschreibung und Analyse) durch die statistische Entscheidungstheorie und die Sequenzialanalyse erweitert.

 

Literatur:

 

J. Pfanzagl: Allg. Methodenlehre der S., 2 Bde. (^5-61978-83);

 M. Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung u. mathemat. S. (a. d. Poln., Berlin-Ost 1989);

 L. Sachs: Statist. Methoden, 2 Bde. (^1-71990-93);

 M. R. Spiegel: S. (a. d. Engl., London ²1990);

 J. Schwarze: Grundlagen der S., 2 Bde. (^6-71994-97);

 W. A. Stahel: Statist. Datenanalyse (1995);

 R. Storm: Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathemat. S., statist. Qualitätskontrolle (¹⁰1995);

 P. Bohley: Formeln, Rechenregeln, EDV u. Tabellen zur S. (⁶1996);

 P. Bohley: S. (⁶1996);

 B. Leiner: Einf. in die S. (⁷1996);

 J. Hartung u. a.: S. (¹¹1998).

 

Statistik

 

[engl. statistics], ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der mathematischen Erfassung und Auswertung von Massenerscheinungen befasst, also mit Erscheinungen, die an Gesamtheiten von vielen Objekten beobachtbar sind. Man kann die Statistik unterteilen in die beschreibende Statistik und die beurteilende Statistik.

 

Die beschreibende Statistik beschäftigt sich damit, empirisches Material über Zufallsgrößen zu sammeln und auf geeignete Weise, häufig durch eine grafische Wiedergabe der Verteilung von Häufigkeiten, darzustellen. Das statistische Material entstammt einer Stichprobe, welche Auskunft über die Verteilung der untersuchten Merkmale in der Grundgesamtheit geben soll. Die Aufgabe der beurteilenden Statistik besteht darin, aus dem statistischen Material Rückschlüsse auf die Grundgesamtheit zu ziehen. Da diese Rückschlüsse immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet sind, kommt hier die Wahrscheinlichkeitsrechnung zur Anwendung. Der Begriff Wahrscheinlichkeit gibt den Grad der Möglichkeit bzw. Voraussagbarkeit des Eintretens eines Ereignisses an. Die Verteilung der Häufigkeiten aller möglichen Ereignisse ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung. Am häufigsten ist die Normalverteilung, deren Schaubild die Form einer Glocke hat (gaußsche Glockenkurve). Ein Maß für die Streuung der ermittelten Häufigkeitswerte ist die Standardabweichung.

 

Die Computerstatistik befasst sich mit der Entwicklung und effektiven Durchführung rechenintensiver statistischer Verfahren. Sie liefert somit Grundlagen für die Erstellung der in der Praxis weit verbreiteten Statistik-Software.