Akademik

lineares Gleichungssystem,

 

ein System mehrerer linearer Gleichungen (im Text mit (*) bezeichnet):

 

Dabei sind alle Koeffizienten a_ij (i = 1,.. ., m; j = 1,.. ., n; m, n natürliche Zahlen) Elemente eines Körpers K und x₁,..., x_n Variable (Unbekannte). Sind in (*) alle b₁,.. ., b_m der rechten Seite gleich null, so heißt (*) homogenes lineares Gleichungssystem, ansonsten inhomogenes lineares Gleichungssystem. Gesucht sind bei gegebenen a_ij ∈ K geordnete n-Tupel (ξ₁,.. ., ξ_n) ∈ Kⁿ (n-faches kartesisches Produkt von K) mit folgender Eigenschaft: Setzt man für x_i das Element ξ_i (i = 1,.. ., n) in das lineare Gleichungssystem (*) ein, so sind alle Gleichungen erfüllt. Das heißt, gesucht sind diejenigen Werte ξ_i, die die Variablen x_i annehmen müssen, damit in keiner Gleichung ein Widerspruch auftritt (wahre Aussage). Die Lösungsmenge von (*) wird als Teilmenge von Kⁿ betrachtet. Z. B. hat das lineare Gleichungssystem

 

(K ist der rationale Zahlkörper ℚ) die einzige Lösung (2, 1), d. h., für x₁ = 2 und x₂ = 1 sind beide Gleichungen erfüllt; das System

 

besitzt keine Lösungen, da x₁ + x₂ nicht zugleich die Werte 1 und ³/₂ annehmen kann; das System

 

hat die Lösungsmenge {(²/₃ — t,¹/₃ — t, t) | t ∈ ℚ}. In diesem Fall existieren mehr Variable als Gleichungen, das System ist unbestimmt. Es gibt dann unendlich viele Lösungen, da x₃ beliebige Werte t aus ℚ annehmen kann. Die Lösungen für x₁ und x₂ sind abhängig von der anfänglichen Wahl für x₃.

 

Eine einfache und übersichtliche Darstellungsweise für lineare Gleichungssysteme erlaubt die Verwendung von Matrizen. In dieser Theorie lassen sich auch Kriterien für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme formulieren, die einen wichtigen Gegenstand der linearen Algebra bilden. Zur praktischen Berechnung linearer Gleichungssysteme wendet man v. a. den gaußschen Algorithmus an; ein weiteres Lösungsverfahren ist die cramersche Regel.

 

Lineare Gleichungssysteme sind in der Mathematik und ihren Anwendungen von großer Bedeutung, weil die numerische Lösung von Gleichungen verschiedener Art (z. B. Differenzial- oder Integralgleichungen) vielfach auf die Lösung von linearen Gleichungssystemen zurückgeführt werden kann. Durch den Einsatz leistungsfähiger Computer ist es auf diese Weise möglich, Gleichungen aus den verschiedensten Gebieten näherungsweise zu lösen, was früher zum Teil nicht möglich war, da lineare Gleichungssysteme oft mit einer sehr großen Anzahl von Gleichungen und Variablen auftreten.