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Krümmung,

 

in der Differenzialgeometrie Maß für die Abweichung einer Kurve (oder Fläche) von einer Geraden (oder Ebene).

 

Die Krümmung einer nach der Bogenläge s parametrisierten Kurve x (s) ist der Betrag der zweiten Ableitung nach s, d. h. k (s) = |x'' (s)|; x'' (s) heißt auch Krümmungsvektor. Geraden besitzen in jedem Punkt die Krümmung 0. Bei Kreisen ist in jedem Punkt die Krümmung k = 1 / r (r ist der Kreisradius); man kann daher die Krümmung einer Kurve in einem Punkt definieren als die Krümmung des Kreises, der die Kurve in diesem Punkt berührt und sich am besten an die Kurve anschmiegt; der Kreis heißt Krümmungskreis oder Schmiegkreis, der dazugehörige Radius Krümmungsradius. Ist die Kurve durch zweimal differenzierbare Funktionen x = x (t) und y = y (t) (t Parameter) gegeben, so ist

 

(ẋ, ẏ erste und ẍ, ÿ zweite Ableitung nach t). - Bei Raumkurven ist neben der Krümmung auch die Windung (Torsion) von Bedeutung.

 

Zur Bestimmung der Krümmung einer Fläche in einem Punkt legt man durch die Normale in diesem Punkt Ebenen, die die Flächen schneiden. Dabei entstehen Schnittkurven, deren Krümmung man untersucht. Minimum und Maximum der Krümmung heißen Hauptkrümmung. Das Produkt der beiden Hauptkrümmungen ist das gaußsche Krümmungsmaß, ihr arithmetisches Mittel die mittlere Krümmung.

 

Auch für drei- oder höherdimensionale Räume, die im Sinne der Riemann-Geometrie erklärt sind, lässt sich eine Krümmung definieren (riemannscher Krümmungstensor).