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Pendel

 

[von mittellateinisch pendulum »Schwinggewicht«, zu lateinisch pendulus »herabhängend«], ein um eine Achse (ebenes Pendel) oder einen Punkt (räumliches oder sphärisches Pendel) frei drehbarer Körper, der nach Auslenkung aus seiner Ruhelage unter dem Einfluss einer Kraft (meist der Schwerkraft) eine (im Allgemeinen periodische) Schwingungsbewegung ausführt.

 

Ein idealisiertes Pendel ist das mathematische Pendel, bei dem ein Massenpunkt der Masse m am freien Ende eines masselosen, undehnbaren Fadens der Länge l (bei Vernachlässigung der Lager- und Luftreibung) unter dem Einfluss der Fallbeschleunigung g steht. Physikalisch kann es in guter Näherung durch einen kleinen, aber schweren Körper an einem langen materiellen Faden (Fadenpendel) realisiert werden. Die Bewegungsgleichung des Massenpunktes für ein ebenes mathematisches Pendel (Pendelgleichung) lautet: + ω²sin ϕ = 0, wobei die Kreisfrequenz ω (ω² = g / l ) von der Masse des Pendelkörpers unabhängig ist. Bei kleiner Auslenkung aus der Ruhelage (kleiner Schwingungsamplitude) ist die Schwingungsdauer T = 2π Ein Pendel der Länge l ≈ 99,4 cm hat eine Schwingungsdauer von T =2 s (Sekundenpendel). Für größere Auslenkwinkel ϕ, bei denen die näherungsweise Ersetzung von sin ϕ durch ϕ zu ungenau wird, ergibt die genauere, auf elliptische Funktionen führende Rechnung z. B. für eine Amplitude von 10º eine um etwa 0,2 % größere Schwingungsdauer. Bewegt sich die Punktmasse nicht auf einem Kreis, sondern auf einer Zykloide ist die Dauer der Schwingung von ihrer Amplitude unabhängig (Zykloidenpendel). Die Zykloide heißt deshalb auch Tautochrone (griechisch »Zeitgleiche«).

 

Jedes reale Pendel weicht mehr oder weniger stark vom mathematischen Pendel ab. Das ebene physikalische oder physische Pendel ist ein um eine Achse drehbarer (ausgedehnter) Körper. Der Pendellänge l des mathematischen Pendels entspricht die reduzierte Pendellänge l_red = J / m s; dabei ist J das Trägheitsmoment des Pendelkörpers um seine Drehachse und s der Abstand der Achse vom Massenmittelpunkt des Pendels. Als Schwingungsmittelpunkt dieses Pendels wird derjenige Punkt bezeichnet, der im Abstand l_red von der Drehachse auf der zu dieser senkrechten Geraden liegt, die durch den Massenmittelpunkt verläuft. Man kann sich die gesamte Pendelmasse m im Schwingungsmittelpunkt vereinigt denken, ohne dass dadurch die Schwingungsdauer T geändert würde. Vertauscht man Drehpunkt und Schwingungsmittelpunkt, so bleibt die Schwingungsdauer unverändert. Darauf beruht das Reversionspendel, das aus einer Stange mit zwei gegeneinander gerichteten Schneiden S₁ und S₂ und zwei verschiebbaren Massen m₁ und m₂ besteht. Diese werden so lange verschoben, bis die Schwingungsdauern um S₁ und S₂ gleich sind. Aus der Formel für die Schwingungsdauer lässt sich dann die Fallbeschleunigung g genau bestimmen.

 

Eine Sonderform des physikalischen Pendels ist das Ausgleichs- oder Minimalpendel (M. Schuler). Bei ihm ist l_red = 2s, die Schwingungsdauer von s und damit von der Temperatur nahezu unabhängig. Sehr genaue astronomischen Pendeluhren haben ein elektromagnetisch angetriebenes, in einer Wasserstoffatmosphäre bei etwa 130 hPa schwingendes Minimalpendel (Schuler-Uhr; Ganggenauigkeit circa 1 ms pro Tag). Eine andere Möglichkeit, Temperatureinflüsse auszugleichen, bieten die Kompensationspendel.

 

Beim Kegelpendel durchläuft die Punktmasse eines räumlichen mathematischen Pendels einen horizontalen Kreis, sodass der Aufhängefaden den Mantel eines Kegels beschreibt. Bezeichnet h die Höhe des Kegels, ist T = 2π Für kleine Öffnungswinkel ist T näherungsweise gleich der Schwingungsdauer des ebenen mathematischen Pendels. Im allgemeinen Fall beschreibt der Massenpunkt eines räumlichen mathematischen Pendels eine unter Umständen nichtperiodische Bahn, die zwischen zwei konzentrischen Kreisen verläuft. Bei zwei durch eine Feder oder einen belasteten Faden gekoppelten, gleich langen Pendeln (sympathische Pendel) wie auch ähnlich beim Doppelpendel ergibt sich eine Schwingung, bei der die Pendel abwechselnd mit wachsender und wieder abnehmender Amplitude schwingen (Schwebung); die Schwingungsenergie pendelt zwischen den Pendeln hin und her.

 

Ein ebenes Pendel behält seine Schwingungsebene im Raum bei, falls nicht zusätzliche Einflüsse wirksam werden. Auf der Erde ist ein solcher Einfluss die Coriolis-Kraft: Bei genügend großer Pendellänge und Pendelmasse beschreibt ein ebenes Pendel infolge der Ablenkung aus seiner Ebene durch die Erddrehung eine gut beobachtbare, räumliche »Rosettenbahn« (foucaultscher Pendelversuch).